การพิสูจน์ด้วยรูปภาพ (proof without words) ทางเรขาคณิตโดย max (a,b) > มัชฌิมกำลังสอง (RMS) หรือ quadratic mean (QM) > มัชฌิมเลขคณิต (AM) > มัชฌิมเรขาคณิต (GM) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) > min (a,b) ของตัวเลขบวกสองจำนวน a และ b [๏ 1]

หากค่า x i {\displaystyle x_{i}} ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ

min ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ max {\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }

ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ x i {\displaystyle x_{i}} เท่ากันทั้งหมด

นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต AM ≤ max {\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max } และความเป็นคู่ส่วนกลับ ( min {\displaystyle \min } และ max {\displaystyle \max } ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)

การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน