มุม

บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (α), บีตา (β), แกมมา (γ), และทีตา (θ) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

การแปลงมุมทั่วไป

รอบ	องศา	เรเดียน	แกรเดียน	ไซน์	โคไซน์	แทนเจนต์
0 {\displaystyle 0}	0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }}	0 {\displaystyle 0}	0 g {\displaystyle 0^{g}}	0 {\displaystyle 0}	1 {\displaystyle 1}	0 {\displaystyle 0}
1 12 {\displaystyle {\dfrac {1}{12}}}	30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }}	π 6 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{6}}}	33 1 3 g {\displaystyle 33{\dfrac {1}{3}}^{g}}	1 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}	3 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	3 3 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1 8 {\displaystyle {\dfrac {1}{8}}}	45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }}	π 4 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}}	50 g {\displaystyle 50^{g}}	2 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	2 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	1 {\displaystyle 1}
1 6 {\displaystyle {\dfrac {1}{6}}}	60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }}	π 3 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}	66 2 3 g {\displaystyle 66{\dfrac {2}{3}}^{g}}	3 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	1 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}	3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
1 4 {\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}	90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }}	π 2 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}	100 g {\displaystyle 100^{g}}	1 {\displaystyle 1}	0 {\displaystyle 0}	∞ {\displaystyle \infty }
1 3 {\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}	120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ }}	2 π 3 {\displaystyle {\dfrac {2\pi }{3}}}	133 1 3 g {\displaystyle 133{\dfrac {1}{3}}^{g}}	3 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	− 1 2 {\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}	− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
3 8 {\displaystyle {\dfrac {3}{8}}}	135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }}	3 π 4 {\displaystyle {\dfrac {3\pi }{4}}}	150 g {\displaystyle 150^{g}}	2 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	− 2 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	− 1 {\displaystyle -1}
5 12 {\displaystyle {\dfrac {5}{12}}}	150 ∘ {\displaystyle 150^{\circ }}	5 π 6 {\displaystyle {\dfrac {5\pi }{6}}}	166 2 3 g {\displaystyle 166{\dfrac {2}{3}}^{g}}	1 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}	− 3 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	− 3 3 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}	180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }}	π {\displaystyle \pi }	200 g {\displaystyle 200^{g}}	0 {\displaystyle 0}	− 1 {\displaystyle -1}	0 {\displaystyle 0}
7 12 {\displaystyle {\dfrac {7}{12}}}	210 ∘ {\displaystyle 210^{\circ }}	7 π 6 {\displaystyle {\dfrac {7\pi }{6}}}	233 1 3 g {\displaystyle 233{\dfrac {1}{3}}^{g}}	− 1 2 {\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}	− 3 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	3 3 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
5 8 {\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}	225 ∘ {\displaystyle 225^{\circ }}	5 π 4 {\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}	250 g {\displaystyle 250^{g}}	− 2 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	− 2 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	1 {\displaystyle 1}
2 3 {\displaystyle {\dfrac {2}{3}}}	240 ∘ {\displaystyle 240^{\circ }}	4 π 3 {\displaystyle {\dfrac {4\pi }{3}}}	266 2 3 g {\displaystyle 266{\dfrac {2}{3}}^{g}}	− 3 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	− 1 2 {\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}	3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
3 4 {\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}	270 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }}	3 π 2 {\displaystyle {\dfrac {3\pi }{2}}}	300 g {\displaystyle 300^{g}}	− 1 {\displaystyle -1}	0 {\displaystyle 0}	∞ {\displaystyle \infty }
5 6 {\displaystyle {\dfrac {5}{6}}}	300 ∘ {\displaystyle 300^{\circ }}	5 π 3 {\displaystyle {\dfrac {5\pi }{3}}}	333 1 3 g {\displaystyle 333{\dfrac {1}{3}}^{g}}	− 3 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	1 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}	− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
7 8 {\displaystyle {\dfrac {7}{8}}}	315 ∘ {\displaystyle 315^{\circ }}	7 π 4 {\displaystyle {\dfrac {7\pi }{4}}}	350 g {\displaystyle 350^{g}}	− 2 2 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	2 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}	− 1 {\displaystyle -1}
11 12 {\displaystyle {\dfrac {11}{12}}}	330 ∘ {\displaystyle 330^{\circ }}	11 π 6 {\displaystyle {\dfrac {11\pi }{6}}}	366 2 3 g {\displaystyle 366{\dfrac {2}{3}}^{g}}	− 1 2 {\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}	3 2 {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}	− 3 3 {\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1 {\displaystyle 1}	360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }}	2 π {\displaystyle 2\pi }	400 g {\displaystyle 400^{g}}	0 {\displaystyle 0}	1 {\displaystyle 1}	0 {\displaystyle 0}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น sin(θ) และ cos(θ) ตามลำดับ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น sin θ และ cos θ

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tan) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}

และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (sec), โคเซแคนต์ (csc), และโคแทนเจนต์ (cot) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ , csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ , cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}

นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน