สมบัติของวงเล็บลากรานจ์ ของ วงเล็บลากรานจ์

Q = Q ( q , p ) , P = P ( q , p ) {\displaystyle Q=Q(q,p),P=P(q,p)} เป็นการแปลงคาโนนิคัล สมบัติ invariant ของวงเล็บลากรานจ์เป็น [ u , v ] q , p = [ u , v ] Q , P {\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}
  • ถ้า Ω คือ symplectic form ในปริภูมิเฟสสองมิติ W และ u1,…,u2n คือระบบพิกัดบนปริภูมิ W พิกัดคาโนนิคัล (q,p) อาจเขียนได้เป็นฟังก์ชันของพิกัด u และเมตริกซ์ของวงเล็บลากรานจ์
[ u i , u j ] p , q , 1 ≤ i , j ≤ 2 n {\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n} แทนองค์ประกอบของ Ω ในรูปของเทนเซอร์ ในพิกัด u เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) เขียนให้อยู่ในรูปวงเล็บปัวส์ซอง { u i , u j } , 1 ≤ i , j ≤ 2 n {\displaystyle \{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}


  • พิกัด (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) ในปริภูมิเฟสเป็นพิกัดคาโนนิคอล วงเล็บลากรานจ์ระหว่างพิกัดทั้งสองเขียนได้เป็น
[ Q i , Q j ] p , q = 0 , [ P i , P j ] p , q = 0 , [ Q i , P j ] p , q = − [ P j , Q i ] p , q = δ i j {\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}}

เมื่อ δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} คือ เดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta)