เมนูนำทาง
สมการชเรอดิงเงอร์ใน_3_มิติ
พิจารณาพิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ตามรูปด้าน
โดยระบุ ทิศทางของเวกเตอร์ r เป็นระยะทาง r จากจุดกำเนิด
มุม θ (เซต้า) มีทิศทำมุมกับแกน Z
มุม φ (ฟี) โปรเจกชั่นของทิศทางบนระนาบ x-y มีทิศทำมุมกับแกน x
ซึ่งมีความสัมพันธ์กับพิกัดฉากตามสมการ
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta \end{aligned}}}
ดังนั้นจากสมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ (1) สามารถเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดทรงกลมได้เป็น
− ℏ 2 2 m [ 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ψ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ψ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ψ ∂ ϕ 2 ] + V ( r ) ψ ( r ) = E ψ ( r ) ( 2 ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}]+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )\quad (2)}
เมื่อ ตัวดำเนินการลาปราส ( ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ) ในพิกัดทรงกลม เป็น
∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}
ใช้วิธีการแยกตัวแปร โดยกำหนดให้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ r คูณกับฟังก์ชันที่ขึ้นกับ θ และ φ ตามสมการ
ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).\,}
หลังจากแก้สมการชเรอดิงเงอร์ตามสมการ (2) จะได้สมการทั้งหมด ดังนี้
1 R d d r ( r 2 d R d r ) + 2 m r 2 ℏ 2 [ E − V ( r ) ] = λ ( 3 ) , 1 Y 1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ Y ∂ θ ) + 1 Y 1 sin 2 θ ∂ 2 Y ∂ ϕ 2 = − λ . ( 4 ) {\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}[E-V(r)]=\lambda \quad (3),\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi ^{2}}}=-\lambda .\quad (4)}
เมื่อ λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)}
โดย สมการ (3) เรียกว่า Radial equation
สมการ (4) เป็นส่วนของ Angular equation
พิจารณาส่วนของมุม (Angular) ตามสมการ (4) ซึ่งนักฟิสิกส์พยายามที่จะใช้วิธีการแยกตัวแปร เพื่อแยกตัวแปรเกี่ยวกับมุม ให้อยู่ในรูป Y l m ( θ , ϕ ) = Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )\,\;} แต่ไม่สามารถแยกตัวแปร θ {\displaystyle \theta } กับ ϕ {\displaystyle \phi } ให้เป็นอิสระต่อกันได้ และจากสมการ (4) จะได้
1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}} λ sin 2 θ + sin θ Θ d d θ ( sin θ d Θ d θ ) = m 2 {\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}ได้คำตอบในส่วนของมุมเป็น
Y ℓ m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) m ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos θ ) e i m ϕ ( 5 ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }\quad (5)}
โดย l = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle l=0,1,2,...} และเรียก l ว่า Orbital angular momentum quantum number
m = − l , − l + 1 , . . . , − 1 , 0 , 1 , . . . , l − 1 , l {\displaystyle m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l} และเรียก m ว่า Magnetic quantum number
และเรียก Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} ว่า Spherical harmonics ซึ่งจะมีสมบัติ Orthonormal ตามสมการ
∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m ∗ Y ℓ ′ m ′ sin θ d θ d ϕ = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,{}^{*}Y_{\ell '}^{m'}\,{\sin \theta }{d\theta }d\phi =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}}
จากสมการ (3) เราจะสามารถแก้สมการได้ง่ายขึ้น ถ้าทำการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ u ( r ) = d e f r R ( r ) {\displaystyle u(r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ rR(r)}
จัดรูปใหม่จะได้ − ℏ 2 2 m 0 r d 2 d r 2 ( r R ( r ) ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 m 0 r 2 R ( r ) + V ( r ) R ( r ) = E R ( r ) ( 5 ) {\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m_{0}r}{d^{2} \over dr^{2}}\left(rR(r)\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2m_{0}r^{2}}R(r)+V(r)R(r)=ER(r)\quad (5)}
จะพบว่ามีรูปแบบเหมือนกับสมการชเรอดิงเงอร์ใน 1 มิติ ยกเว้นจะมีเทอมของศักย์ยังผล (Effective potential) เพิ่มเข้ามา
V e f f ( r ) = V ( r ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 m 0 r 2 {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2m_{0}r^{2}}}
ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม L หาค่าได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของตัวดำเนินการตำแหน่งของฟังก์ชันคลื่น r กับ ตัวดำเนินการโมเมนตัม p ตามสมการ L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } ซึ่งจะคล้ายคลึงกับการนิยาม โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ดั้งเดิม
เนื่องจาก L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}
ดังนั้น จะได้
L 2 = − r 2 ∇ 2 + ( r ∂ ∂ r + 1 ) r ∂ ∂ r = − 1 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ ∂ θ − 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}
เมื่อ ℏ = 1 {\displaystyle \hbar =1}
ถ้านำ L 2 {\displaystyle \mathbf {L} ^{2}} ไป operate กับ Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} จะได้
L ^ 2 Y l m ( θ , ϕ ) = { − 1 sin 2 θ [ sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + ∂ 2 ∂ ϕ 2 ] } Y l m ( θ , ϕ ) . ( 6 ) {\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (6)}
จะพบว่าในวงเล็บ () ของสมการ (6) จะตรงกับสมการ (4) โดยมี − λ {\displaystyle -\lambda } เป็น eigenvalue เขียนสมการใหม่เป็น
L ^ 2 Y l m ( θ , ϕ ) = l ( l + 1 ) Y l m ( θ , ϕ ) . ( 7 ) {\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (7)}
และถ้าพิจารณา L ในแนวแกน Z จะได้
L z Y l m ( θ , ϕ ) = m Y l m ( θ , ϕ ) . ( 8 ) {\displaystyle {L}_{z}Y_{lm}(\theta ,\phi )=mY_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (8)}
เมนูนำทาง
สมการชเรอดิงเงอร์ใน_3_มิติใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: สมการชเรอดิงเงอร์ใน_3_มิติ