ในที่นี้เรากำหนดให้ A , P , Q ∈ R n × n {\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}} และ P {\displaystyle P} และ Q {\displaystyle Q} เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ P > 0 {\displaystyle P>0} หมายถือว่า P {\displaystyle P} คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี P > 0 {\displaystyle P>0} และ Q > 0 {\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ A T P + P A + Q = 0 {\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง V ( z ) = z T P z {\displaystyle V(z)=z^{T}Pz} นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี P > 0 {\displaystyle P>0} และ Q > 0 {\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ A T P A − P + Q = 0 {\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น x ( t + 1 ) = A x ( t ) {\displaystyle x(t+1)=Ax(t)} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ z T P z {\displaystyle z^{T}Pz} นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ