ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท

ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ A {\displaystyle A} เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ A {\displaystyle A} กระทำต่อ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } จะทำให้ได้ A | ψ ⟩ {\displaystyle A|\psi \rangle } เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N {\displaystyle N} มิติ สถานะ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ N × 1 {\displaystyle N\times 1} มิติ ส่วนตัวดำเนินการ A {\displaystyle A} จะอยู่ในรูปเมริกซ์ N × N {\displaystyle N\times N} มิติ โดยที่ A | ψ ⟩ {\displaystyle A|\psi \rangle } สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา

ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ A {\displaystyle A} เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง ⟨ ψ | A {\displaystyle \langle \psi |A} จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ

( ⟨ ϕ | A ) | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ( A | ψ ⟩ ) , {\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}

ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ 1 × N {\displaystyle 1\times N} มิติ ส่วนตัวดำเนินการ A {\displaystyle A} จะอยู่ในรูปเมริกซ์ N × N {\displaystyle N\times N} มิติ โดยที่ ⟨ ψ | A {\displaystyle \langle \psi |A} สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น

⟨ ϕ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle }

ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

Outer products

วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} และ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ

( | ϕ ⟩ ⟨ ψ | ) ( x ) = ⟨ ψ | x ⟩ | ϕ ⟩ {\displaystyle (|\phi \rangle \langle \psi |)(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle }

สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

| ϕ ⟩ ⟨ ψ | ≐ ( ϕ 1 ϕ 2 ⋮ ϕ N ) ( ψ 1 ∗ ψ 2 ∗ ⋯ ψ N ∗ ) = ( ϕ 1 ψ 1 ∗ ϕ 1 ψ 2 ∗ ⋯ ϕ 1 ψ N ∗ ϕ 2 ψ 1 ∗ ϕ 2 ψ 2 ∗ ⋯ ϕ 2 ψ N ∗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ϕ N ψ 1 ∗ ϕ N ψ 2 ∗ ⋯ ϕ N ψ N ∗ ) {\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}

ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ