สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้

c1 และ c2 แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

c∗ แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน c

A แทน B แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ

ความเป็นเชิงเส้น

เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)

⟨ ϕ | ( c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ ) = c 1 ⟨ ϕ | ψ 1 ⟩ + c 2 ⟨ ϕ | ψ 2 ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }

จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

( c 1 ⟨ ϕ 1 | + c 2 ⟨ ϕ 2 | ) | ψ ⟩ = c 1 ⟨ ϕ 1 | ψ ⟩ + c 2 ⟨ ϕ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้

⟨ ψ | ( A | ϕ ⟩ ) = ( ⟨ ψ | A ) | ϕ ⟩ = def ⟨ ψ | A | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle } ( A | ψ ⟩ ) ⟨ ϕ | = A ( | ψ ⟩ ⟨ ϕ | ) = def A | ψ ⟩ ⟨ ϕ | {\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |}

สังยุคเอร์มีเชียน

สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ † มีกฎต่าง ๆ ดังนี้

• สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
• สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 
• สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :(x†)† = x

จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้

• เค็ท

( c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ ) † = c 1 ∗ ⟨ ψ 1 | + c 2 ∗ ⟨ ψ 2 |   {\displaystyle \left(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \right)^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|~}

• ผลคูณภายใน (Inner products)

⟨ ϕ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | ϕ ⟩   {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle ~}

( ⟨ ϕ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ⟨ ϕ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ ¯ {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}={\overline {\langle \phi |\psi \rangle }}} )

• เมทริกซ์

⟨ ϕ | A | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | A † | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }

⟨ ϕ | A † B † | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | B A | ϕ ⟩   {\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle ~}

• ผลคูณภายนอก (Outer products)

( ( c 1 | ϕ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 | ) + ( c 2 | ϕ 2 ⟩ ⟨ ψ 2 | ) ) † = ( c 1 ∗ | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 1 | ) + ( c 2 ∗ | ψ 2 ⟩ ⟨ ϕ 2 | )   {\displaystyle \left((c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|)+(c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|)\right)^{\dagger }=(c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|)+(c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|)~}