ตามแผนเดิมภารกิจปฏิบัติการสเปซเอ็กซ์ครั้งที่สามในโครงการคอมเมอร์เชียลครูว์โปรแกรมนี้ ยานถูกกำหนดให้ปล่อยในวันที่ 31 ตุลาคม 2021[24] แต่ถูกเลื่อนออกไปเป็นวันที่ 3 พฤศจิกายน 2021 เนื่องจากสภาพอากาศในมหาสมุทรแอตแลนติกไม่เอื้ออำนวย[25] และเลื่อนออกไปอีกครั้งเป็นวันที่ 7 พฤศจิกายน 2021 เนื่องจากปัญหาทางการแพทย์เล็กน้อยของนักบินอวกาศ[26] เนื่องจากมีการประเมินว่าสภาพอากาศจะเลวร้าย จึงได้เลื่อนการปล่อยยานอีกครั้งเป็นวันที่ 9 พฤศจิกายน 2021[27]

เนื่องจากความล่าช้าในการปล่อยยาน นาซาจึงได้ตัดสินใจนำนักบินอวกาศจากภารกิจครูว์-2 ที่ได้ปฏิบัติภารกิจบนสถานีอวกาศนานาชาติกลับโลกก่อนที่จะปล่อยยานครูว์-3 นับเป็นการส่งไม้ต่อลูกเรือสถานีอวกาศนานาชาติทางอ้อมครั้งแรกของครูว์ดรากอน[28] สเปซเอ็กซ์ครูว์-2 ได้ออกจากสถานีอวกาศเมื่อวันที่ 8 พฤศจิกายน และตกลงมาถึงโลกเมื่อวันที่ 9 พฤศจิกายน 2021 สุดท้ายยานสเปซเอ็กซ์ครูว์-3 จึงได้ถูกปล่อยเมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน 2021 เวลา 02:03:31 UTC ณ แหลมคะแนเวอรัล[29]

ภารกิจในส่วนของยุโรปมีชื่อว่า "Cosmic Kiss"[30]