หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

นิยามด้วยฟังก์ชัน

ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ คือ

( a 1 , a 2 , … , a n ) ≡ ( X , Y , F ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\equiv (X,Y,F)}

เมื่อ

X = { 1 , 2 , … , n } Y = { a 1 , a 2 , … , a n } F = { ( 1 , a 1 ) , ( 2 , a 2 ) , … , ( n , a n ) } {\displaystyle {\begin{aligned}X&=\{1,2,\dots ,n\}\\Y&=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}\\F&=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(n,a_{n})\}\\\end{aligned}}}

หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

( a 1 , a 2 , … , a n ) := ( F ( 1 ) , F ( 2 ) , … , F ( n ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}):=(F(1),F(2),\dots ,F(n))}

นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน

ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง ∅ {\displaystyle \emptyset }
2. n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ เมื่อ n > 0 {\displaystyle n>0} นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = ( a 1 , ( a 2 , a 3 , … , a n ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}

เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า

( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = ( a 1 , ( a 2 , ( a 3 , ( … , ( a n , ∅ ) … ) ) ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}

ตัวอย่างเช่น

( 1 , 2 , 3 ) = ( 1 , ( 2 , ( 3 , ∅ ) ) ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , ( 2 , ( 3 , ( 4 , ∅ ) ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}

หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง ∅ {\displaystyle \emptyset }
2. n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ เมื่อ n > 0 {\displaystyle n>0} นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = ( ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n − 1 ) , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}

เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า

( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = ( ( … ( ( ( ∅ , a 1 ) , a 2 ) , a 3 ) , … ) , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}

ตัวอย่างเช่น

( 1 , 2 , 3 ) = ( ( ( ∅ , 1 ) , 2 ) , 3 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( ( ( ( ∅ , 1 ) , 2 ) , 3 ) , 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}

นิยามด้วยเซตซ้อน

เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้

1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง ∅ {\displaystyle \emptyset }
2. กำหนดให้ x {\displaystyle x} เป็น n {\displaystyle n} -สิ่งอันดับ ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} และกำหนดให้ x → b ≡ ( a 1 , a 2 , … , a n , b ) {\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)} จะได้ว่า x → b ≡ { { x } , { x , b } } {\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}} (เรียกว่า x {\displaystyle x} เชื่อมกับ b {\displaystyle b} )

ตัวอย่างเช่น

( ) = ∅ ( 1 ) = ( ) → 1 = { { ( ) } , { ( ) , 1 } } = { { ∅ } , { ∅ , 1 } } ( 1 , 2 ) = ( 1 ) → 2 = { { ( 1 ) } , { ( 1 ) , 2 } } = { { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } } , { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } , 2 } } ( 1 , 2 , 3 ) = ( 1 , 2 ) → 3 = { { ( 1 , 2 ) } , { ( 1 , 2 ) , 3 } } = { { { { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } } , { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } , 2 } } } , { { { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } } , { { { ∅ } , { ∅ , 1 } } , 2 } } , 3 } } {\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}