อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ a n {\displaystyle a_{n}} (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ a n {\displaystyle a_{n}} (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

พจน์ที่ไม่เป็นลบ

เมื่อ a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ S N {\displaystyle S_{N}} ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ S N {\displaystyle S_{N}} ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้

∑ n ≥ 1 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}

เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ

1 n 2 ≤ 1 n − 1 − 1 n , n ≥ 2 {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2}

และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

การลู่เข้าสัมบูรณ์

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง

∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์

∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}

ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

การลู่เข้าตามเงื่อนไข

อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }

เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S

การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ

∑ a n = ∑ λ n b n {\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}

เมื่อผลรวมบางส่วน B N = b 0 + . . . + b N {\displaystyle B_{N}=b_{0}+...+b_{N}} ถูกจำกัดขอบเขต, λ n {\displaystyle \lambda _{n}} เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ λ n B n {\displaystyle \lambda _{n}B_{n}} มีลิมิต

sup N | ∑ n = 0 N b n | < ∞ ,     ∑ | λ n + 1 − λ n | < ∞   and   λ n B n   converges {\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges}}}

แล้วอนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ

∑ n = 2 ∞ sin ⁡ ( n x ) ln ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}

โดยที่ 0 < x < 2 π {\displaystyle 0<x<2\pi } วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน b n + 1 = B n + 1 − B n {\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}} และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้

∑ ( λ n − λ n + 1 ) B n {\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}}