นิยาม ของ อนุกรมฟูรีเย

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเยสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e i n x . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.} F n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x . {\displaystyle \qquad F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.}
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,\!} เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)\,\!} และ sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)\,\!}
f ( x ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]} a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx}

b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx}

โดยที่ F n = ( a n − i b n ) / 2 {\displaystyle F_{n}=(a_{n}-ib_{n})/2\,} , F − n = F n ∗ {\displaystyle F_{-n}=F_{n}^{*}} และ F 0 = a 0 / 2 {\displaystyle F_{0}=a_{0}/2\,}