พิจารณาฟังก์ชัน f ( x ) = x {\displaystyle \,f(x)=x\,} สำหรับค่า x ∈ ( − π , π ) {\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )} และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูเรียร์ ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x = 1 2 π ∫ − π π x d x = 0 , {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,dx=0,} a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x = 1 π ∫ − π π x cos ⁡ ( n x ) d x = 0 , {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,} b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x = 1 π ∫ − π π x sin ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx} = 2 π ∫ 0 π x sin ⁡ ( n x ) d x = 2 π ( [ − x cos ⁡ ( n x ) n ] 0 π + [ sin ⁡ ( n x ) n 2 ] 0 π ) = ( − 1 ) n + 1 2 n {\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)\,dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}}

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

f ( x ) = x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ) {\displaystyle f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))} = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n sin ⁡ ( n x ) , ∀ x ∈ ( − π , π ) {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )}

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ