ผลรวมย่อย

ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ

∑ k = 0 n a r k = a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!}

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ( 1 − r ) {\displaystyle (1-r)} ได้

( 1 − r ) ∑ k = 0 n a r k = ( 1 − r ) ( a + a r + a r 2 + . . . + a r n ) = ( a + a r + a r 2 + . . . + a r n ) − r ( a + a r + a r 2 + . . . + a r n ) = ( a + a r + a r 2 + . . . + a r n ) − ( a r + a r 2 + a r 3 . . . + a r n + 1 ) = a − a r n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}&=(1-r)(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})-r(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+...+{\cancel {ar^{n}}})-({\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}...+ar^{n+1})\\&=a-ar^{n+1}\end{aligned}}}

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

∑ k = 0 n a r k = a ( r n + 1 − 1 ) r − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}}

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

∑ k = m n a r k = a ( r n + 1 − r m ) r − 1 {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย ( 1 − r 2 ) {\displaystyle (1-r^{2})}

( 1 − r 2 ) ∑ k = 0 n a r 2 k = a − a r 2 n + 2 {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}}

จะได้สูตร

∑ k = 0 n a r 2 k = a ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

( 1 − r 2 ) ∑ k = 0 n a r 2 k + 1 = a r − a r 2 n + 3 {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}

จะได้สูตร

∑ k = 0 n a r 2 k + 1 = a r ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}

ผลรวมทั้งหมด

สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

∑ k = 0 ∞ a r k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = lim n → ∞ a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r = lim n → ∞ a 1 − r − lim n → ∞ a r n + 1 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}

ซึ่ง r k {\displaystyle r^{k}} จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} ดังนั้น

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r − 0 = a 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

∑ k = 0 ∞ a r 2 k = a 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

∑ k = 0 ∞ a r 2 k + 1 = a r 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก