ทศนิยมซ้ำ

สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212... เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้

0.121212... = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + . . . = 12 100 + 12 10000 + 12 1000000 + . . . = 12 100 + 12 100 ( 1 100 ) + 12 100 ( 1 100 ) 2 + . . . = 12 / 100 1 − 1 / 100 = 12 / 100 99 / 100 = 12 99 = 4 33 {\displaystyle {\begin{aligned}0.121212...&=0.12+0.0012+0.000012+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{10000}}+{\frac {12}{1000000}}+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)^{2}+...\\&={\frac {12/100}{1-1/100}}={\frac {12/100}{99/100}}={\frac {12}{99}}={\frac {4}{33}}\end{aligned}}}

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทศนิยมซ้ำที่มีช่วงซ้ำยาว n หลัก จะสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนที่มีเศษเป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำ และส่วนเป็น 10n - 1

อนุกรมกำลัง

จากสูตร

1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 . . . + x n + . . . {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}...+x^{n}+...} เมื่อ | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}

สามารถนำไปพิสูจน์อนุกรมอื่น ๆ ได้โดยแคลคูลัส เช่น เมื่อนำสูตรนี้ไปหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ จะได้

1 ( 1 − x ) 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 + . . . + . . . + n x n − 1 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+5x^{4}+...+...+nx^{n-1}+...} เมื่อ | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 1 ( 1 − x ) 3 = 2 + 6 x + 12 x 2 + 20 x 3 + 30 x 4 + . . . + n ( n − 1 ) x n − 2 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{3}}}=2+6x+12x^{2}+20x^{3}+30x^{4}+...+n(n-1)x^{n-2}+...} เมื่อ | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 1 ( 1 − x ) 4 = 6 + 24 x + 60 x 2 + 120 x 3 + 210 x 4 . . . + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) x n − 3 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{4}}}=6+24x+60x^{2}+120x^{3}+210x^{4}...+n(n-1)(n-2)x^{n-3}+...} เมื่อ | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}

เป็นเช่นนี้เรื่อยไป