สถานะสมมูลและอสมมูล

ให้ n แสดงถึงเลขควอนตัมที่ไม่ต่อเนื่องสำหรับการระบุสถานะของอนุภาคเดี่ยว (ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาเกี่ยวกับอนุภาคที่อยู่ในกล่อง ให้แทน n เป็น quantized wave vector ของ wavefunction) เพื่อให้ง่ายจะพิจารณาระบบที่ประกอบด้วย 2 identical particles สมมติว่าอนุภาคหนึ่งอยู่ในสถานะ n1 และอีกตัวหนึ่งอยู่ในสถานะ n2 จะได้สถานะควอนตัมของระบบเป็น

| n 1 ⟩ | n 2 ⟩ {\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }

นี่เป็นเพียงวิธีอย่างง่ายในการสร้าง basis สำหรับ tensor product space H ⊗ H {\displaystyle H\otimes H} ของระบบรวมจากแต่ละ space อย่างไรก็ตาม ความคิดนี้แสดงถึงความสามารถในการจำแนกอนุภาคที่ n1 เป็น "อนุภาคที่ 1" และอนุภาคที่ n2 เป็น "อนุภาคที่ 2" ซึ่งจะเป็นไปไม่ได้โดยนิยาม ที่อนุภาคไม่สามารถจำแนกได้ เพราะ | n 1 ⟩ | n 2 ⟩ {\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle } และ | n 2 ⟩ | n 1 ⟩ {\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle } เป็น 2 สถานะที่ต่างกัน โดย 2 สถานะจะเท่ากันตามหลักฟิสิกส์ ก็ต่อเมื่อมันแตกต่างกันด้วยเฟสเชิงซ้อน (complex phase factor) ซึ่งจะต้องใช้เงื่อนไขนี้เพื่อนำไปสู่ข้อสรุปที่ว่า สถานะเป็นไปตามความเป็นไปได้ 2 อย่าง :

| n 1 ⟩ | n 2 ⟩ ± | n 2 ⟩ | n 1 ⟩ {\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }

เพื่อที่จะมองให้เห็นภาพสิ่งนี้ ลองจินตนาการถึงระบบอนุภาคสอง identical particles และเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าหนึ่งในอนุภาคจะอยู่ในสถานะ n1 และอีกตัวหนึ่งอยู่ในสถานะ n2 ซึ่งก่อนที่จะมีการวัด ไม่มีทางรู้ได้ว่าอนุภาคที่ 1 อยู่ในสถานะ n1 และอนุภาคที่ 2 อยู่ในสถานะ n2 หรืออื่น ๆ เนื่องจากอนุภาคจำแนกไม่ได้ ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ในการเกิดขึ้นของแต่ละสถานะอย่างเท่า ๆ กัน ซึ่งหมายความว่าระบบอยู่ในการซ้อนทับ (Superposition) ของทั้งสองสถานะก่อนที่จะมีการวัด

สถานะที่เป็นผลรวม เรียกว่า symmetric และสถานะที่เกี่ยวข้องกับผลต่าง เรียกว่า Antisymmetric

โดยสถานะแบบ symmetric มีรูปแบบเป็น

| n 1 , n 2 ; S ⟩ ≡ constant × ( | n 1 ⟩ | n 2 ⟩ + | n 2 ⟩ | n 1 ⟩ ) {\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}

ในขณะที่สถานะแบบ antisymmetric มีรูปแบบเป็น

| n 1 , n 2 ; A ⟩ ≡ constant × ( | n 1 ⟩ | n 2 ⟩ − | n 2 ⟩ | n 1 ⟩ ) {\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}

แต่ถ้า n1 และ n2 เท่ากัน Antisymmetric จะให้ค่าเป็นศูนย์ ซึ่งไม่สามารถเป็น state vector เนื่องจากไม่สามารถเป็น normalized ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ในสถานะ antisymmetric ของ identical particle 2 ตัวจะไม่สามารถอยู่ในสถานะเดียวกันได้ นี่เรียกว่า หลักการกีดกันของ Pauli และเป็นเหตุผลพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังคุณสมบัติทางเคมีของอะตอมและความเสถียรของสสาร