กำหนดฟังก์ชัน f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } ดังต่อไปนี้ f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} เมื่อ x ≥ t {\displaystyle x\geq t} มิฉะนั้น f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} เราได้ว่า

E [ f ( X ) ] = Pr [ X ≥ t ] {\displaystyle \mathrm {E} [f(X)]=\Pr[X\geq t]}

เนื่องจาก f ( x ) ≤ x / t {\displaystyle f(x)\leq x/t} สำหรับทุกๆ จำนวนจริง x {\displaystyle x} เราได้ว่า

Pr [ X ≥ t ] ≤ E [ X / t ] = E [ X ] t {\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X/t]={\frac {\mathrm {E} [X]}{t}}}

ตามต้องการ

อีกบทพิสูจน์หนึ่ง

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม X {\displaystyle X} เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า

จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม X {\displaystyle X} มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า

E [ X ] = ∑ i = 0 ∞ i ⋅ Pr [ X = i ] {\displaystyle \mathrm {E} [X]=\sum _{i=0}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]} = ∑ i = 0 t − 1 i ⋅ Pr [ X = i ] + ∑ i = t ∞ i ⋅ Pr [ X = i ] {\displaystyle =\sum _{i=0}^{t-1}i\cdot \Pr[X=i]+\sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]}     (กระจายเทอม โดยแยกกรณี i < t {\displaystyle i<t} กับ i ≥ t {\displaystyle i\geq t} ) ≥ ∑ i = t ∞ i ⋅ Pr [ X = i ] {\displaystyle \geq \sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]}     (ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์) ≥ ∑ i = t ∞ t ⋅ Pr [ X = i ] {\displaystyle \geq \sum _{i=t}^{\infty }t\cdot \Pr[X=i]}     (เนื่องจาก i ≥ t {\displaystyle i\geq t} ) = t ⋅ ( ∑ i = t ∞ ⋅ Pr [ X = i ] ) {\displaystyle =t\cdot \left(\sum _{i=t}^{\infty }\cdot \Pr[X=i]\right)}     (แยก t {\displaystyle t} ) = t ⋅ Pr [ X ≥ t ] {\displaystyle =t\cdot \Pr[X\geq t]} .     (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

นั่นคือเราได้ Pr [ X ≥ t ] ≤ E [ X ] / t {\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X]/t} ตามต้องการ