นิยาม ของ ออกโทเนียน

ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}, โดยที่ e0 คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)[3]

e j {\displaystyle e_{j}}
e i e j {\displaystyle e_{i}e_{j}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}}
e i {\displaystyle e_{i}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}}
e 1 {\displaystyle e_{1}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}}
e 2 {\displaystyle e_{2}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}}
e 3 {\displaystyle e_{3}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}}
e 4 {\displaystyle e_{4}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}}
e 5 {\displaystyle e_{5}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}}
e 6 {\displaystyle e_{6}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}}
e 7 {\displaystyle e_{7}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}}

ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้

e i e j = { e j , if  i = 0 e i , if  j = 0 − δ i j e 0 + ε i j k e k , otherwise {\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

สังยุค

สังยุคของออกโทเนียน x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7

คือ x*=x0e0-x1e1-x2e2-x3e3-x4e4-x5e5-x6e6-x7e7

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

x*x=x02+x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72

ใกล้เคียง