เมนูนำทาง
ออกโทเนียน นิยามออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}, โดยที่ e0 คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป
x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7
การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)[3]
e j {\displaystyle e_{j}} | |||||||||
e i e j {\displaystyle e_{i}e_{j}} | e 0 {\displaystyle e_{0}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
e i {\displaystyle e_{i}} | e 0 {\displaystyle e_{0}} | e 0 {\displaystyle e_{0}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} |
e 1 {\displaystyle e_{1}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | − e 2 {\displaystyle -e_{2}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | − e 4 {\displaystyle -e_{4}} | − e 7 {\displaystyle -e_{7}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | |
e 2 {\displaystyle e_{2}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | − e 3 {\displaystyle -e_{3}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} | − e 4 {\displaystyle -e_{4}} | − e 5 {\displaystyle -e_{5}} | |
e 3 {\displaystyle e_{3}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | − e 1 {\displaystyle -e_{1}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} | − e 6 {\displaystyle -e_{6}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | − e 4 {\displaystyle -e_{4}} | |
e 4 {\displaystyle e_{4}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | − e 5 {\displaystyle -e_{5}} | − e 6 {\displaystyle -e_{6}} | − e 7 {\displaystyle -e_{7}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | |
e 5 {\displaystyle e_{5}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | − e 7 {\displaystyle -e_{7}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | − e 1 {\displaystyle -e_{1}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | − e 3 {\displaystyle -e_{3}} | e 2 {\displaystyle e_{2}} | |
e 6 {\displaystyle e_{6}} | e 6 {\displaystyle e_{6}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | − e 5 {\displaystyle -e_{5}} | − e 2 {\displaystyle -e_{2}} | e 3 {\displaystyle e_{3}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} | − e 1 {\displaystyle -e_{1}} | |
e 7 {\displaystyle e_{7}} | e 7 {\displaystyle e_{7}} | − e 6 {\displaystyle -e_{6}} | e 5 {\displaystyle e_{5}} | e 4 {\displaystyle e_{4}} | − e 3 {\displaystyle -e_{3}} | − e 2 {\displaystyle -e_{2}} | e 1 {\displaystyle e_{1}} | − e 0 {\displaystyle -e_{0}} |
ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้
e i e j = { e j , if i = 0 e i , if j = 0 − δ i j e 0 + ε i j k e k , otherwise {\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
สังยุคของออกโทเนียน x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7
คือ x*=x0e0-x1e1-x2e2-x3e3-x4e4-x5e5-x6e6-x7e7
ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
x*x=x02+x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72
เมนูนำทาง
ออกโทเนียน นิยามใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: ออกโทเนียน https://books.google.com/books?id=H-5v6pPpyb4C&pg=...