เฉลียว วัชรพุกก์ เกิดเมื่อวันที่ 29 มกราคม พ.ศ. 2464 เป็นบุตรของขุนวัชรพุกก์ศึกษากร (แปลก วัชรพุกก์) กับ นางบุญมี วัชรพุกก์ สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี วิศวกรรมศาสตรบัณฑิต จาก จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย [2] สมรสกับสำรวย วัชรพุกก์ มีบุตร-ธิดา 6 คน

เฉลียว วัชรพุกก์ เสียชีวิตด้วยโรคไตวายเฉียบพลัน เมื่อวันที่ 23 ธันวาคม พ.ศ. 2546 สิริอายุ 82 ปี