เมนูนำทาง
เมทริกซ์_(คณิตศาสตร์)
ให้ A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และ B = ( b i , j ) m × n {\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B {\displaystyle A+B} ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = ( c i , j ) m × n = A + B {\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times n}=A+B} แล้ว c i , j = a i , j + b i , j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}} ยกตัวอย่างเช่น
[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
กำหนดเมทริกซ์ A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และจำนวน c {\displaystyle c} เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ c A {\displaystyle cA} ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ที่คำนวณโดยการนำ c {\displaystyle c} ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A {\displaystyle A} กล่าวคือ หาก B = ( b i , j ) m × n = c A {\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}=cA} แล้ว b i , j = c a i , j {\displaystyle b_{i,j}=ca_{i,j}} ยกตัวอย่างเช่น
2 [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 × 1 2 × 8 2 × − 3 2 × 4 2 × − 2 2 × 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] {\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ m n {\displaystyle mn} ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง
ถ้า A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และ B = ( b i , j ) n × p {\displaystyle B=(b_{i,j})_{n\times p}} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A {\displaystyle A} เท่ากับจำนวนแถวของ B {\displaystyle B} แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ A B {\displaystyle AB} ว่าเป็นเมทริกซ์ C = ( c i , j ) m × p {\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times p}} โดยที่
c i , j = a i , 1 b 1 , j + a i , 2 b 2 , j + ⋯ + a i , n b n , j = ∑ k = 1 n a i , k b k , j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}}กล่าวคือสมาชิกในแถว i {\displaystyle i} หลัก j {\displaystyle j} ของผลคูณ A B {\displaystyle AB} คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i {\displaystyle i} ของ A {\displaystyle A} และสมาชิกของคอลัมน์ B {\displaystyle B} ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n {\displaystyle n} ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a i = ( a i , 1 , a i , 2 , … , a i , n ) {\displaystyle a_{i}=(a_{i,1},a_{i,2},\ldots ,a_{i,n})} เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i {\displaystyle i} ของ A {\displaystyle A} และให้ b j = ( b 1 , j , b 2 , j , … , b n , j ) {\displaystyle b_{j}=(b_{1,j},b_{2,j},\ldots ,b_{n,j})} เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j {\displaystyle j} ของ B {\displaystyle B} แล้ว เราจะได้ว่า c i , j = a i ⋅ b j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i}\cdot b_{j}} เมื่อ a i ⋅ b j {\displaystyle a_{i}\cdot b_{j}} คือผลคูณจุดของ a i {\displaystyle a_{i}} และ b j {\displaystyle b_{j}} เช่น
ให้ A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ] = [ a 1 a 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\end{bmatrix}}} และ B = [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 b 3 , 2 b 3 , 2 ] = [ b 1 b 2 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\b_{3,2}&b_{3,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}\\\end{bmatrix}}} แล้ว A × B = [ a 1 ⋅ b 1 a 1 ⋅ b 2 a 2 ⋅ b 1 a 2 ⋅ b 2 ] {\displaystyle A\times B={\begin{bmatrix}a_{1}\cdot b_{1}&a_{1}\cdot b_{2}\\a_{2}\cdot b_{1}&a_{2}\cdot b_{2}\\\end{bmatrix}}}และ
[ 1 0 2 − 1 3 1 ] × [ 3 1 2 1 1 0 ] = [ ( 1 × 3 + 0 × 2 + 2 × 1 ) ( 1 × 1 + 0 × 1 + 2 × 0 ) ( − 1 × 3 + 3 × 2 + 1 × 1 ) ( − 1 × 1 + 3 × 1 + 1 × 0 ) ] = [ 5 1 4 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ A {\displaystyle A} ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} และ B {\displaystyle B} ขนาด n × p {\displaystyle n\times p} ใดๆ
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A {\displaystyle A} แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ B {\displaystyle B} ถ้า A B = − B A {\displaystyle AB=-BA} เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ AT ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น
[ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}เมนูนำทาง
เมทริกซ์_(คณิตศาสตร์)ใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: เมทริกซ์_(คณิตศาสตร์)