เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ

โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ แสดงออกว่า e i π {\displaystyle e^{i\pi }} มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ e i π {\displaystyle e^{i\pi }} คือ รูปพิเศษหนึ่งของ e z {\displaystyle e^{z}} โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว e z {\displaystyle e^{z}} ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

e z = lim n → ∞ ( 1 + z n ) n . {\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}

ในแอนิเมชันนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ (1 + iπ/N)Nมีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N)N จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, ( 1 + i π / n ) n {\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}} จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของอ็อยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}

สำหรับจำนวนจริง x {\displaystyle x} ถ้าเราให้ x = π {\displaystyle x=\pi } จะได้

e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!}

จากนิยามของ

cos ⁡ π = − 1 {\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}

และ

sin ⁡ π = 0 {\displaystyle \sin \pi =0\,\!}

เราจะได้

e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!} หรือ e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}