ถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในกรอบอ้างอิงใด ๆ ก็ตาม วัตถุนั้นจะมีโมเมนตัมอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น ๆ ค่าของโมเมนตัมของวัตถุจะขึ้นอยู่กับสองตัวแปร คือมวลกับความเร็วดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองเขียนได้เป็น:

โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว

ในวิชาฟิสิกส์ สัญลักษณ์ของโมเมนตัมคือตัวอักษร p ดังนั้นอาจเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น:

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

โดยที่ m แทนมวล และ v แทนความเร็ว หน่วยเอสไอของโมเมนตัม คือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s) ความเร็วของวัตถุจะให้ทั้งขนาด (อัตราเร็ว) และทิศทาง โมเมนตัมของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว จึงทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จากมวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ

m Δ v = F Δ t {\displaystyle m\Delta \mathbf {v} =\mathbf {F} \Delta t} ก็จะได้ว่า Mometum (kg.m/s) = mass(kg) x velocity(m/s) หรือ Momentum = มวลของวัตถุ x ความเร็วของวัตถุ

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และการชน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมมีใจความว่า "ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อระบบแล้วโมเมนตัมของระบบจะมีค่าคงตัว" ในกรณีวัตถุสองก้อนขึ้นไปเคลื่อนที่มาชนกัน หรือเคลื่อนที่แยกจากกัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมก็ยังคงเป็นจริงเสมอ อาจเขียนเป็นลักษณะสมการได้ว่า ผลรวมโมเมนตัมของวัตถุก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน กล่าวคือ เมื่ออยู่ในระบบปิด คือ ไม่มีการแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม ซึ่งก็คือโมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์อยู่เสมอ (ไม่เพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันก็ไม่ลดหายไป) แม้แต่ในการชน พลังงานจลน์นั้นจะไม่ถูกอนุรักษ์ในการชน ถ้าการชนนั้นเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น เนื่องจากการคงตัวของโมเมนตัมที่กล่าวมาแล้ว จึงทำให้สามารถนำไปคำนวณความเร็วที่ไม่ทราบค่าภายหลังการชนได้

ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ที่จะต้องใช้ความจริงที่กล่าวมานี้ ก็คือการชนกันของสองอนุภาค โดยผลรวมของโมเมนตัมก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังการชนเสมอ

m 1 v 1 , i + m 2 v 2 , i = m 1 v 1 , f + m 2 v 2 , f {\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1,i}+m_{2}\mathbf {v} _{2,i}=m_{1}\mathbf {v} _{1,f}+m_{2}\mathbf {v} _{2,f}\,}

โดยที่ตัวห้อย i แสดงถึงก่อนการชน และตัวห้อย f แสดงถึงหลังการชน

โดยปกติ เราจะทราบเพียงความเร็วก่อนการชน หรือหลังการชน ไม่อย่างใดก็อย่างหนึ่ง และต้องการที่จะทราบความเร็วอีกตัวหนึ่ง การแก้ไขปัญหานี้อย่างถูกต้องจะทำให้เราทราบว่าการชนนั้นเป็นอย่างไร การชนนั้นมีสองประเภท ดังต่อไปนี้

• การชนแบบยืดหยุ่น เป็นการชนที่อนุรักษ์พลังงาน
• การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนที่ไม่อนุรักษ์พลังงาน

การชนทั้งสองประเภทที่ได้กล่าวมานี้ เป็นการชนที่อนุรักษ์โมเมนตัมทั้งหมด

การชนแบบยืดหยุ่น

การชนกันของลูกสนุ้กเกอร์สองลูก เป็นตัวอย่างหนึ่งของการชนแบบยืดหยุ่น นอกเหนือจากที่โมเมนตัมรวมกันก่อนชนต้องเท่ากับโมเมนตัมรวมกันหลังชนแล้ว ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์หลังการชนด้วย

1 2 m 1 v 1 , i 2 + 1 2 m 2 v 2 , i 2 = 1 2 m 1 v 1 , f 2 + 1 2 m 2 v 2 , f 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{1}v_{1,i}^{2}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{2}v_{2,i}^{2}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{2}v_{2,f}^{2}\,}

เนื่องจากตัวประกอบ 1/2 มีอยู่แล้วทุก ๆ พจน์ จึงสามารถนำออกไปได้เป็น

m 1 v 1 , i 2 + m 2 v 2 , i 2 = m 1 v 1 , f 2 + m 2 v 2 , f 2 {\displaystyle m_{1}v_{1,i}^{2}+m_{2}v_{2,i}^{2}=m_{1}v_{1,f}^{2}+m_{2}v_{2,f}^{2}\,}

การชนแบบพุ่งตรง (การชนในหนึ่งมิติ)

Elastic collision of equal massesElastic collision of unequal masses

พิจารณาการชนกันของวัตถุ 2 วัตถุ กำหนดให้ วัตถุหนึ่งมีมวล m 1 {\displaystyle m_{1}} เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v 1 , i {\displaystyle v_{1,i}} เข้าชนวัตถุมวล m 2 {\displaystyle m_{2}} ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v 2 , i {\displaystyle v_{2,i}} และหลังชนวัตถุทั้งสองมีความเร็วเป็น v 1 , f {\displaystyle v_{1,f}} และ v 2 , f {\displaystyle v_{2,f}} ตามลำดับ

ในกรณีที่วัตถุพุ่งเข้าชนกันแบบเต็ม ๆ เป็นทางตรง เราสามารถหาความเร็วหลังการชนได้เป็น

v 1 , f = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) v 1 , i + ( 2 m 2 m 1 + m 2 ) v 2 , i {\displaystyle v_{1,f}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{2,i}\,}

v 2 , f = ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) v 1 , i + ( m 2 − m 1 m 1 + m 2 ) v 2 , i {\displaystyle v_{2,f}=\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}+\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{2,i}\,}

ถ้ามวลของวัตถุทั้งสองเท่ากัน (m1 = m2) จะได้ความเร็วหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น v 1 , f = v 2 , i {\displaystyle v_{1,f}=v_{2,i}} และ v 2 , f = v 1 , i {\displaystyle v_{2,f}=v_{1,i}} ซึ่งหมายความว่าวัตถุมีการแลกเปลี่ยนความเร็วกัน

ถ้าให้วัตถุที่สองหยุดนิ่ง จะได้ v 2 , i = 0 {\displaystyle v_{2,i}=0} สมการความเร็วหลังชนจะกลายเป็น

v 1 , f = ( m 1 − m 2 m 1 + m 2 ) v 1 , i {\displaystyle v_{1,f}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}\,}

v 2 , f = ( 2 m 1 m 1 + m 2 ) v 1 , i {\displaystyle v_{2,f}=\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}\,}

ถ้ามวลของวัตถุที่หนึ่งมากกว่ามวลของวัตถุที่สอง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกัน แต่วัตถุที่หนึ่งมีความเร็วลดลงถ้ามวลของวัตถุที่สองมากกว่ามวลของวัตถุที่หนึ่ง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุที่หนึ่งจะกระเด็นกลับ ส่วนวัตถุที่สองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกับวัตถุที่หนึ่งก่อนชน

จากสมการพลังงานจลน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

  m 1 ( v 1 , f 2 − v 1 , i 2 ) = m 2 ( v 2 , i 2 − v 2 , f 2 ) {\displaystyle \ m_{1}\left(v_{1,f}^{2}-v_{1,i}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2,i}^{2}-v_{2,f}^{2}\right)}

แยกตัวประกอบของทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้

  m 1 ( v 1 , f − v 1 , i ) ( v 1 , f + v 1 , i ) = m 2 ( v 2 , i − v 2 , f ) ( v 2 , i + v 2 , f ) {\displaystyle \ m_{1}\left(v_{1,f}-v_{1,i}\right)\left(v_{1,f}+v_{1,i}\right)=m_{2}\left(v_{2,i}-v_{2,f}\right)\left(v_{2,i}+v_{2,f}\right)}

และแยกเทอมที่เป็นตัวประกอบร่วมของสมการโมเมนตัม จะได้

  m 1 ( v 1 , f − v 1 , i ) = m 2 ( v 2 , i − v 2 , f ) {\displaystyle \ m_{1}(v_{1,f}-v_{1,i})=m_{2}(v_{2,i}-v_{2,f})}

จากสองสมการข้างต้นจะได้

v 1 , f + v 1 , i = v 2 , i + v 2 , f {\displaystyle v_{1,f}+v_{1,i}=v_{2,i}+v_{2,f}}

เราจะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วก่อนชนและหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น

v 1 , i − v 2 , i = − ( v 1 , f − v 2 , f ) {\displaystyle v_{1,i}-v_{2,i}=-\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right)}

แสดงว่าอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองก่อนการชน v 1 , i − v 2 , i {\displaystyle v_{1,i}-v_{2,i}} มีค่าเท่ากับค่าลบของอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองหลังการชน − ( v 1 , f − v 2 , f ) {\displaystyle -\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right)}

ตัวอย่างก่อนชน ลูกบอลลูกที่หนึ่งมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 m/s เข้าชนลูกบอลมวล 5 kg เคลื่อนที่กำลังด้วยความเร็ว 6 m/s ในทิศตรงข้ามกับลูกบอลลูกที่หนึ่งหลังชน ลูกบอลลูกที่หนึ่งกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 8.5 m/s ลูกบอลลูกที่สองกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 1.5 m/s

การชนแบบไม่ยืดหยุ่น

ตัวอย่างที่พบเห็นได้ของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น คือการที่วัตถุชนแล้วติดกัน (ไถลไปด้วยกัน) สมการต่อไปนี้จะแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัม

เมื่อชนแล้ววัตถุจะติดกันไปโมเมนตัมก่อนชน = หลังชน ส่วนพลังงานจลน์ไม่เท่ากัน เช่น รถยนต์ชนกัน

m 1 v 1 , i + m 2 v 2 , i = ( m 1 + m 2 ) v f {\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1,i}+m_{2}\mathbf {v} _{2,i}=\left(m_{1}+m_{2}\right)\mathbf {v} _{f}\,}

การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล

เมื่อวัตถุคู่หนึ่งวิ่งเข้าหากัน หรือวิ่งออกจากกันจุดศูนย์กลางของมวลของวัตถุคู่นั้นย่อมมีการเคลื่อนที่ไปด้วย การศึกษาการชนกันของวัตถุอาจพิจารณาถึงจุดศูนย์กลางมวลได้เช่นกัน ความเร็วของจุดศูนย์กลางของมวลจะเป็นไปตามสมการ