กฎข้อที่ 1

กฎเคปเลอร์ข้อที่ 1

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"

คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้

สมการคือ

r = p 1 + ϵ ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}

โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

r m i n = p 1 + ϵ {\displaystyle r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\epsilon }}}

เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:

r m a x = p 1 − ϵ {\displaystyle r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\epsilon }}}

กึ่งแกนเอกของวงรี a คือมัชฌิมเลขคณิตของ rmin และ rmax:

a = p 1 − ϵ 2 {\displaystyle a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}}

กึ่งแกนโทของวงรี b คือมัชฌิมเรขาคณิตของ rmin และ rmax:

b = p 1 − ϵ 2 {\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}

นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

a b = b p {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{p}}}

กฎข้อที่ 2

ภาพแสดงกฎเคปเลอร์ข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” [2]

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (law of conservation of angular momentum)โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้

1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร M = 2 π t P {\displaystyle M={\frac {2\pi t}{P}}} 2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเคปเลอร์:   M = E − ϵ ⋅ sin ⁡ E {\displaystyle \ M=E-\epsilon \cdot \sin E} 3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ: tan ⁡ θ 2 = 1 + ϵ 1 − ϵ ⋅ tan ⁡ E 2 {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}} 4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก: r = p 1 + ϵ ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}

กฎข้อที่ 3

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

P 2 ∝ a 3 {\displaystyle P^{2}\propto a^{3}} P {\displaystyle P} = คาบการโคจรของดาวเคราะห์ a {\displaystyle a} = แกนกึ่งเอกของวงโคจร

ดังนั้น P2·a–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ (sidereal year) และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ (astronomical unit) P2·a–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะในหน่วยเอสไอ: P 2 a 3 = 3.00 × 10 − 19 s 2 m 3 ±   0.7 % {\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}=3.00\times 10^{-19}{\frac {s^{2}}{m^{3}}}\pm \ 0.7\%\,}

ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา

ปัญหาเคปเลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:

• s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
• z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
• c ศูนย์กลางของวงรี
• p ดาวเคราะห์

และ

  a = | c z | , {\displaystyle \ a=|cz|,} semimajor axis ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก   ε = | c s | a , {\displaystyle \ \varepsilon ={|cs| \over a},} ความเยื้องศูนย์กลาง   b = a 1 − ε 2 , {\displaystyle \ b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},} กึ่งแกนโท   r = | s p | , {\displaystyle \ r=|sp|,} ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์ ν = ∠ z s p , {\displaystyle \nu =\angle zsp,} ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t

| z s x | = a b ⋅ | z s p | {\displaystyle |zsx|={\frac {a}{b}}\cdot |zsp|}   | z c y | = | z s x | {\displaystyle \ |zcy|=|zsx|} และ

M = ∠ z c y {\displaystyle M=\angle zcy} , y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย

  | z c y | = a 2 M 2 < / m a t h :< m a t h > | z s p | = b a ⋅ | z s x | = b a ⋅ | z c y | = b a ⋅ a 2 M 2 = a b M 2 {\displaystyle \ |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}</math:<math>|zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}}} ,

M = 2 π t T , {\displaystyle M={2\pi t \over T},}

โดย T คือคาบการโคจร

  | z c y | = | z s x | = | z c x | − | s c x | {\displaystyle \ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|} a 2 M 2 = a 2 E 2 − a ε ⋅ a sin ⁡ E 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}}

Division by a²/2 gives Kepler's equation

M = E − ε ⋅ sin ⁡ E {\displaystyle M=E-\varepsilon \cdot \sin E} . E ≈ M + ( ε − 1 8 ε 3 ) sin ⁡ M + 1 2 ε 2 sin ⁡ 2 M + 3 8 ε 3 sin ⁡ 3 M + ⋯ {\displaystyle E\approx M+\left(\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{3}\right)\sin M+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\sin 2M+{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{3}\sin 3M+\cdots } a ⋅ cos ⁡ E = a ⋅ ε + r ⋅ cos ⁡ ν . {\displaystyle a\cdot \cos E=a\cdot \varepsilon +r\cdot \cos \nu .}   r a = 1 − ε 2 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν {\displaystyle \ {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}

to get

cos ⁡ E = ε + 1 − ε 2 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν ⋅ cos ⁡ ν = ε ⋅ ( 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν ) + ( 1 − ε 2 ) ⋅ cos ⁡ ν 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν = ε + cos ⁡ ν 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν . {\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}\cdot \cos \nu ={\frac {\varepsilon \cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(1-\varepsilon ^{2})\cdot \cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}={\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.} tan 2 ⁡ x 2 = 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x . {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}

จะได้

tan 2 ⁡ E 2 = 1 − cos ⁡ E 1 + cos ⁡ E = 1 − ε + cos ⁡ ν 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν 1 + ε + cos ⁡ ν 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν = ( 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν ) − ( ε + cos ⁡ ν ) ( 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν ) + ( ε + cos ⁡ ν ) = 1 − ε 1 + ε ⋅ 1 − cos ⁡ ν 1 + cos ⁡ ν = 1 − ε 1 + ε ⋅ tan 2 ⁡ ν 2 . {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {E}{2}}={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}}={\frac {(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )-(\varepsilon +\cos \nu )}{(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(\varepsilon +\cos \nu )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \nu }{1+\cos \nu }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot \tan ^{2}{\frac {\nu }{2}}.}

คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์

tan ⁡ ν 2 = 1 + ε 1 − ε ⋅ tan ⁡ E 2 . {\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}.}

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเคปเลอร์:

  r = a ⋅ 1 − ε 2 1 + ε ⋅ cos ⁡ ν . {\displaystyle \ r=a\cdot {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.}