จากความหมายของกระบวนการอะเดียแบติก คือ ความร้อนที่ถ่ายเทเป็น 0 จากกฎข้อที่หนึ่งของอุณหพลศาสตร์ จะได้ว่า

d U + δ W = δ Q = 0 ( 1 ) {\displaystyle dU+\delta W=\delta Q=0\qquad \qquad \qquad (1)}

เมื่อ dU คือพลังงานภายในของระบบที่เปลี่ยนแปลง และ δW คืองานที่ระบบทำ งานทั้งหมดจะต้องถูกใช้เพื่อเป็นพลังงานภายใน ซึ่งานที่ระบบทำนั้นสามารถหาได้จากความดันและปริมาตร คือ

δ W = P d V . ( 2 ) {\displaystyle \delta W=PdV.\qquad \qquad \qquad (2)}

แต่จากสมการนี้ P ไม่ได้เป็นค่าคงที่ในระหว่างเกิดกระบวนการนี้ แต่จะขึ้นอยู่กับ V จึงจำเป็นต้องทราบความสัมพันธ์ของ dP และ dV

C V = α R {\displaystyle C_{V}=\alpha R\,}

เมื่อ R เป็นค่าคงที่ของแก๊ส มีค่าประมาณ 8.314 J/mol.K

d U = α n R d T = α d ( P V ) = α ( P d V + V d P ) . ( 3 ) {\displaystyle dU=\alpha nRdT=\alpha d(PV)=\alpha (PdV+VdP).\qquad (3)}

แทนสมการ (2) และ (3) ในสมการ (1) จะได้

− P d V = α P d V + α V d P {\displaystyle -PdV=\alpha PdV+\alpha VdP\,} − ( α + 1 ) P d V = α V d P {\displaystyle -(\alpha +1)PdV=\alpha VdP\,}

หารทั้งสองข้างด้วย PV

− ( α + 1 ) d V V = α d P P . {\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}

จากแคลคูลัส จะได้เป็น

− ( α + 1 ) d ( ln ⁡ V ) = α d ( ln ⁡ P ) {\displaystyle -(\alpha +1)d(\ln V)=\alpha d(\ln P)\,} ln ⁡ P − ln ⁡ P 0 ln ⁡ V − ln ⁡ V 0 = − α + 1 α {\displaystyle {\ln P-\ln P_{0} \over \ln V-\ln V_{0}}=-{\alpha +1 \over \alpha }}

เมื่อ P0 และ V0 เป็นสถานะเริ่มต้นของระบบ

ln ⁡ ( P / P 0 ) ln ⁡ ( V / V 0 ) = − α + 1 α , {\displaystyle {\ln(P/P_{0}) \over \ln(V/V_{0})}=-{\alpha +1 \over \alpha },} ln ⁡ ( P P 0 ) = ln ⁡ ( V V 0 ) − α + 1 α . {\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)=\ln \left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }}.} ( P P 0 ) = ( V V 0 ) − α + 1 α , {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},} ( P P 0 ) = ( V 0 V ) α + 1 α . {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.} ( P P 0 ) ( V V 0 ) α + 1 α = 1 {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1} P V α + 1 α = P 0 V 0 α + 1 α = P V γ = constant . {\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}