คำจำกัดความมาตรฐาน ของ การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง

การแปลงในรูปเมทริกซ์ :

X D C T = [ C ] x {\displaystyle \mathbf {X} ^{DCT}=[C]\mathbf {x} }

หมายเหตุ : ความยาวคี่(คู่) ของการแปลงในที่นี้หมายถึงส่วนความยาวของข้อมูล รวมกับส่วนขยายเสมือน ไม่ใช่ความยาวของตัวข้อมูลเอง ซึ่งในที่นี้ความยาวของข้อมูลสามารถเป็นได้ทั้งคู่ และคี่ ขึ้นกับ N

การแปลงความยาวคู่

การแปลงโคไซน์มาตรฐาน ความยาวคู่ ในรูปเมทริกซ์ ให้ m , n = 0 , … , N − 1 {\displaystyle m,n=0,\ldots ,N-1}

DCT-1

[ C N I E ] m n = 2 N − 1 [ k m k n cos ⁡ ( m n π N − 1 ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{IE}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\left[k_{m}k_{n}\cos \left(mn{\frac {\pi }{N-1}}\right)\right]}

โดยที่ k i = { 1 / 2 , if i = 0 or N − 1 1 , otherwise {\displaystyle k_{i}=\left\{{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}},&{\mbox{if }}i=0{\mbox{ or }}N-1\\1,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}

DCT-2

[ C N I I E ] m n = 2 N [ k m cos ⁡ ( m ( n + 1 2 ) π N ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{IIE}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N}}}\left[k_{m}\cos \left(m(n+{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{N}}\right)\right]}

DCT-3

[ C N I I I E ] m n = 2 N [ k n cos ⁡ ( ( m + 1 2 ) n π N ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{IIIE}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N}}}\left[k_{n}\cos \left((m+{\frac {1}{2}})n{\frac {\pi }{N}}\right)\right]}

โดยที่ k i = { 1 / 2 , if i = 0 1 , otherwise {\displaystyle k_{i}=\left\{{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}},&{\mbox{if }}i=0\\1,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.} สำหรับกรณี DCT-2, DCT-3

DCT-4

[ C N I V E ] m n = 2 N [ cos ⁡ ( ( m + 1 2 ) ( n + 1 2 ) π N ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{IVE}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N}}}\left[\cos \left((m+{\frac {1}{2}})(n+{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{N}}\right)\right]}

การแปลงความยาวคี่

DCT-5

[ C N I 0 ] m n = 2 N − 1 / 2 [ k m k n cos ⁡ ( m n π N − 1 / 2 ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{I0}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N-1/2}}}\left[k_{m}k_{n}\cos \left(mn{\frac {\pi }{N-1/2}}\right)\right]}

DCT-6

[ C N I I 0 ] m n = 2 N − 1 / 2 [ k m l n cos ⁡ ( m ( n + 1 2 ) π N − 1 / 2 ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{II0}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N-1/2}}}\left[k_{m}l_{n}\cos \left(m(n+{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{N-1/2}}\right)\right]}

DCT-7

[ C N I I I 0 ] m n = 2 N − 1 / 2 [ l m k n cos ⁡ ( ( m + 1 2 ) n π N − 1 / 2 ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{III0}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N-1/2}}}\left[l_{m}k_{n}\cos \left((m+{\frac {1}{2}})n{\frac {\pi }{N-1/2}}\right)\right]}

โดยที่ k i = { 1 / 2 , if i = 0 1 , otherwise {\displaystyle k_{i}=\left\{{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}},&{\mbox{if }}i=0\\1,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.} และ l i = { 1 / 2 , if i = N − 1 1 , otherwise {\displaystyle l_{i}=\left\{{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}},&{\mbox{if }}i=N-1\\1,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}

สำหรับกรณี DCT-5, DCT-6 และ DCT-7

DCT-8

[ C N I V 0 ] m n = 2 N + 1 / 2 [ cos ⁡ ( ( m + 1 2 ) ( n + 1 2 ) π N + 1 / 2 ) ] {\displaystyle \left[C_{N}^{IV0}\right]_{mn}={\sqrt {\frac {2}{N+1/2}}}\left[\cos \left((m+{\frac {1}{2}})(n+{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{N+1/2}}\right)\right]}

การแปลงกลับ

การแปลงกลับ DCT หรือ IDCT นั้น สามารถหาได้จาก ทรานสโพส ของการแปลง เนื่องมาจากคุณสมบัติ unitary ของเมทริกซ์การแปลง DCTซึ่งการแปลงทั้งความยาวคู่ และ คี่ นั้นมีคุณสมบัติดังกล่าว เมทริกซ์การแปลงด้านล่างจึงใช้หมายถึงทั้งความยาวคู่ และ คี่

[ C N I ] − 1 {\displaystyle \left[C_{N}^{I}\right]^{-1}}	= [ C N I ] T {\displaystyle =\left[C_{N}^{I}\right]^{T}}	= [ C N I ] {\displaystyle =\left[C_{N}^{I}\right]}
[ C N I I ] − 1 {\displaystyle \left[C_{N}^{II}\right]^{-1}}	= [ C N I I ] T {\displaystyle =\left[C_{N}^{II}\right]^{T}}	= [ C N I I I ] {\displaystyle =\left[C_{N}^{III}\right]}
[ C N I I I ] − 1 {\displaystyle \left[C_{N}^{III}\right]^{-1}}	= [ C N I I I ] T {\displaystyle =\left[C_{N}^{III}\right]^{T}}	= [ C N I I ] {\displaystyle =\left[C_{N}^{II}\right]}
[ C N I V ] − 1 {\displaystyle \left[C_{N}^{IV}\right]^{-1}}	= [ C N I V ] T {\displaystyle =\left[C_{N}^{IV}\right]^{T}}	= [ C N I V ] {\displaystyle =\left[C_{N}^{IV}\right]}