อย่างที่กล่าวมาว่าความเครียดแบ่งเป็นสองแบบคือความเครียดตั้งฉากซึ้งตั้งฉากกับหน้าตัดของวัตถุและความเครียดเฉือนที่ขนานกับหน้าตัดของวัตถุ โดยนิยามเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้นตั้งฉาก(normal stress)และความเค้นเฉือน(shear stress)

ความเครียดตั้งฉาก

สำหรับวัสดุที่สม่ำเสมอและมีพฤติกรรมตามกฎของฮุค ความเค้นตั้งฉากจะทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก

พิจารณา element สี่เหลี่ยมในสองมิติมีขนาด dx × dy ซึ่งเมื่อถูกเปลี่ยนรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน การเปลี่ยนรูปร่างสามารถบรรยายโดยใช้สนามกระจัด (displacement field) จากรูปเราสามารถเขียนความยาวด้าน

l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx\,}

และ

l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x   1 + 2 ∂ u x ∂ x + ( ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}\,\!}

สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก พจน์ยกกำลังสองนั้นมีขนาดเล็กและสามารถละทิ้งได้ ดังนั้น

l e n g t h ( a b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}

ความเครียดตั้งฉากในทิศ x ของสี่เหลี่ยมนั้นนิยามว่า

ε x = extension original length = l e n g t h ( a b ) − l e n g t h ( A B ) l e n g t h ( A B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}

ในทิศ y และ ทิศ z ก็เขียนได้ในลักษณะเดียวกัน

ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}

ความเครียดเฉือน

ความเครียดเฉือน
หน่วยการวัด (SI):	1, or เรเดียน
สัญลักษณ์ที่มักจะใช้:	γ or ε

ความเครียดเฉือนทางวิศวกรรม(γxy) นิยามจากมุมที่เปลี่ยนไประหว่างส่วนของเส้นตรง AC และ AB ดังนั้น

γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}

จากรูปเราสามารถคำนวณมุมได้

tan ⁡ α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan ⁡ β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}

สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก

∂ u x ∂ x ≪ 1   ;     ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}

สำหรับการเปลี่ยนมุมขนาดเล็ก (α และ β ≪ 1) เราสามารถประมาณ tan α ≈ α, tan β ≈ β

α ≈ ∂ u y ∂ x   ;     β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \approx {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}

ดังนั้น

γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}

โดยการสลับสัญลักษณ์ x กับ y และ ux กับ uy ดังนั้นจึงเขียนได้อีกว่า γxy = γyx.

ในทางเดียวกัน สามารถคำนวณความเครียดเฉือนในระนาบ yz และ xz ได้

γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}

เราสามารถเขียนความเครียดในรูปแบบเทนเซอร์ซึ่งจะรวมทั้งความเค้นตั้งฉากและเฉือนเข้าด้วยกัน

ε _ _ = [ ε x x ε x y ε x z ε y x ε y y ε y z ε z x ε z y ε z z ] = [ ε x x 1 2 γ x y 1 2 γ x z 1 2 γ y x ε y y 1 2 γ y z 1 2 γ z x 1 2 γ z y ε z z ] {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!}