เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย[1] โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

นิยามของ Wiener

Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914[2]

( a , b ) := { { { a } , ∅ } , { { b } } } . {\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}

เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย

Wiener ใช้ {{b}} แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ { { b } } {\displaystyle \{\{b\}\}} เป็นประเภทเดียวกันกับ { { a } , ∅ } {\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}

นิยามของ Hausdorff

ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน

( a , b ) := { { a , 1 } , { b , 2 } } {\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}

โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b[3]

นิยามของ Kuratowski

ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย[4] ว่า

( a ,   b ) K   :=   { { a } ,   { a ,   b } } . {\displaystyle (a,\ b)_{K}\ :=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}

มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน

( x ,   x ) K = { { x } , { x ,   x } } = { { x } ,   { x } } = { { x } } {\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}

เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

∀ Y ∈ p : x ∈ Y . {\displaystyle \forall {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y}.}

ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

( ∃ Y ∈ p : x ∈ Y ) ∧ ( ∀ Y 1 , Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) . {\displaystyle (\exists {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y})\land (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}})).}

สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) ( ∀ Y 1 , Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}}))} จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y1 ≠ Y2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

π 1 ( p ) = ⋃ ⋂ p {\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p}

และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

π 2 ( p ) = ⋃ { x ∈ ⋃ p ∣ ⋃ p ≠ ⋂ p → x ∉ ⋂ p } {\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \{x\in \bigcup p\mid \bigcup p\not =\bigcap p\rightarrow x\notin \bigcap p\}}

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้