การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ ¬ {\displaystyle \neg } อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นประพจน์ "x แต่งงานแล้ว" แล้วเอกภพสัมพัทธ์คือประโยคเปิดว่า x เป็นหนึ่งในมนุษย์ทุกคน ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ให้ x เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

จะได้ :

∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้ เป็นเท็จอย่างแน่นอน ซึ่งเพื่อให้ประโยคนี้เป็นจริง ไม่ขัดต่อเงื่อนไข จะเพิ่มเข้าไปอีกว่า :

ให้ x ไม่เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

¬   ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ประโยคดังกล่าว ไม่เป็นจริงต่อสมาชิกทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวซึ่งขัดกับประพจน์ที่ทำให้เป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)} จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนหรือยังไม่ได้แต่งงาน"

∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

ซึ่งโดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เขียนได้ในรูป :

¬   ∀ x ∈ X P ( x ) ≡   ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

ซึ่งตัวตรงข้ามของประพจน์ "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน")

¬   ∃ x ∈ X P ( x ) ≡   ∀ x ∈ X ¬ P ( x ) ≢   ¬   ∀ x ∈ X P ( x ) ≡   ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

ตัวเชื่อมอื่นๆ

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

P ( x ) ∧ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))}

P ( x ) ∨ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

P ( x ) → ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) → Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

P ( x ) ↚ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↚ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))}

P ( x ) ∧ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

P ( x ) ∨ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))}

P ( x ) → ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) → Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))}

P ( x ) ↚ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↚ Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

P ( x ) ↑ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↑ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))}

P ( x ) ↓ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↓ Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

P ( x ) ↛ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↛ Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

P ( x ) ← ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ← Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))}

P ( x ) ↓ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↓ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))}

P ( x ) ↛ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↛ Q ( y ) ) {\displaystyle P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))}

P ( x ) ← ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡   ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ← Q ( y ) ) ,   p r o v i d e d   t h a t   Y ≠ ∅ {\displaystyle P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }

กฎอุดมคติ

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ตัวบ่งจำเพาะแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

∀ x ∈ X P ( x ) →   P ( c ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ P(c)}

เมื่อ c เป็นสมาชิกเจาะจงในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวบ่งทั่วไปแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ หาก c แทนตัวเจาะจง จะเขียนได้ในรูป :

P ( c ) →   ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกเจาะจงโดยสิ้นเชิง หรือ หากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า :

หาก c ไม่ใช่ตัวเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะเป็นเพียงตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวของฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ

เซตว่าง

โดยปกติแล้ว รูปแบบ ∀ x ∈ ∅ P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)} นั้นจะเป็นจริงเสมอ หากไม่ขึ้นกับตัว P(x) : ดูที่ค่าความจริงว่าง