เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น k → {\displaystyle {\vec {k}}} และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า E 1 {\displaystyle E_{1}} และ E 2 {\displaystyle E_{2}} อธิบายด้วยฐาน ( ϵ ^ 1 , ϵ ^ 2 ) {\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})} หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส ϕ {\displaystyle \phi } และสถานะโพลาไรเซชัน Ψ {\displaystyle \Psi } โดย Ψ {\displaystyle \Psi } คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

องค์ประกอบสนามไฟฟ้า

ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

I ≡ | E x | 2 + | E y | 2 = | E a | 2 + | E b | 2 = | E l | 2 + | E r | 2 Q ≡ | E x | 2 − | E y | 2 U ≡ | E a | 2 − | E b | 2 V ≡ | E l | 2 − | E r | 2 {\displaystyle {\begin{matrix}I&\equiv &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&\equiv &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}&\\U&\equiv &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}&\\V&\equiv &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}&\end{matrix}}}

โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ( x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} ) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง ( a ^ , b ^ {\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}} ) และฐานวงกลม ( l ^ , r ^ {\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}} ) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย l ^ = ( x ^ + i y ^ ) / 2 {\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}

รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน ( x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} ) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

I = | E x | 2 + | E y | 2 Q = | E x | 2 − | E y | 2 U = 2 Re ( E x E y ∗ ) V = − 2 Im ( E x E y ∗ ) {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\Q&=&|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}\\U&=&2{\mbox{Re}}(E_{x}E_{y}^{*})\\V&=&-2{\mbox{Im}}(E_{x}E_{y}^{*})\\\end{matrix}}}

ในฐาน ( a ^ , b ^ ) {\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})} แสดงได้เป็น

I = | E a | 2 + | E b | 2 Q = − 2 Re ( E a ∗ E b ) U = | E a | 2 − | E b | 2 V = 2 Im ( E a ∗ E b ) {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E_{a}^{*}E_{b})\\U&=&|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{a}^{*}E_{b})\\\end{matrix}}}

และในฐาน ( l ^ , r ^ ) {\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})} :

I = | E l | 2 + | E r | 2 Q = 2 Re ( E l ∗ E r ) U = − 2 Im ( E l ∗ E r ) V = | E l | 2 − | E r | 2 {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E_{l}^{*}E_{r})\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E_{l}^{*}E_{r})\\V&=&|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}\\\end{matrix}}}

ในรูปของวงรี

วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

I p = A 2 + B 2 Q = ( A 2 − B 2 ) cos ⁡ ( 2 θ ) U = ( A 2 − B 2 ) sin ⁡ ( 2 θ ) V = 2 A B h {\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2}\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta )\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta )\\V&=&2ABh\\\end{matrix}}}

และในทางกลับกัน:

A = 1 2 ( I p + | L | ) B = 1 2 ( I p − | L | ) θ = 1 2 arg ⁡ ( L ) h = sgn ⁡ ( V ) . {\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}

ในพิกัดทรงกลม

วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ

ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร

S 0 = I S 1 = I p cos ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ S 2 = I p sin ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ S 3 = I p sin ⁡ 2 χ {\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}

ในที่นี้ I p {\displaystyle Ip} , 2 ψ {\displaystyle 2\psi } และ 2 χ {\displaystyle 2\chi } คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า ψ {\displaystyle \psi } แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า χ {\displaystyle \chi } บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

I = S 0 p = S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 S 0 2 ψ = a t a n S 2 S 1 2 χ = a t a n S 3 S 1 2 + S 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}