ความดัน ของ ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส

ก๊าซจำนวนหนึ่งมีความดัน 275 กิโลนิวตัน ปริมาตร 0.09 ลูกบาศก์เมตรและอุณหภูมิ 185 องศาเซลเซียส ถ้าเกิดการเปลี่ยนแปลงสภาวะที่มีความดันคงที่จนอุณหภูมิลดลงเหลือ 15 องศาเซลเซียส จงหาปริมาณความร้อนและงานที่ใช้โดยกำหนดให้ค่าคงที่เฉพาะของก๊าซ R = 0.29 kJ/kg-K โดยความดันขึ้นอยู่กับแรงที่กระทำระหว่างภาชนะกับโมเลกุลจากการชน

สมมติให้มีแก๊ส N โมเลกุล แต่ละโมเลกุลมีมวล m อยู่ในภาชนะลูกบาศก์ยาวด้านละ l ปริมาตร V

ถ้าแก๊สโมเลกุลหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วตามแกน x เป็น v x {\displaystyle v_{x}} ไปชนกับภาชนะ เนื่องจากเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ ความเร็วหลังชนจึงเป็น − v x {\displaystyle -v_{x}} โมเมนตัมที่เปลี่ยนไปเป็น 2 m v x {\displaystyle 2mv_{x}}

แรงที่ผนังกระทำต่อแก๊ส

F = Δ P Δ t {\displaystyle F={\frac {\Delta P}{\Delta t}}}

เวลานับจากที่แก๊สชนภาชนะด้านหนึ่งกลับมาชนที่เดิมอีกครั้งเป็น 2 l v x {\displaystyle 2l \over v_{x}}

Δ P Δ t = 2 m v x 2 l v x = m v x 2 l {\displaystyle {\frac {\Delta P}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}}{\frac {2l}{v_{x}}}}={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}}

มีแก๊ส N โมเลกุล

∑ F x = ∑ i m v x i 2 l {\displaystyle \sum F_{x}=\sum _{i}{\frac {mv_{xi}^{2}}{l}}}

ความดัน P x = F A = m l ∑ i v x i 2 l 2 = m V ∑ i v x i 2 {\displaystyle P_{x}={\frac {F}{A}}={\frac {{\frac {m}{l}}\sum _{i}{v_{xi}^{2}}}{l^{2}}}={\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{xi}^{2}}} เนื่องจากแก๊สเคลื่อนที่ในสามมิติ ความเร็ว v จะได้

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}

จะได้ว่า

m V ∑ i v i 2 = m V ∑ i v x i 2 + m V ∑ i v y i 2 + m V ∑ i v z i 2 {\displaystyle {\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{i}^{2}}={\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{xi}^{2}}+{\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{yi}^{2}}+{\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{zi}^{2}}} m V ∑ i v i 2 = P x + P y + P z {\displaystyle {\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{i}^{2}}=P_{x}+P_{y}+P_{z}}

เนื่องจากเป็นแก๊สในภาชนะเดียวกัน ความดันตามแนว x y z เท่ากันและเท่ากับความดันของแก๊ส

P g a s = P x = P y = P z = 1 3 m V ∑ i v i 2 {\displaystyle P_{gas}=P_{x}=P_{y}=P_{z}={\frac {1}{3}}{\frac {m}{V}}\sum _{i}{v_{i}^{2}}}

ให้ v r m s 2 {\displaystyle v_{rms}^{2}} เป็นค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเร็วซึ่งได้จาก

v r m s 2 = v 1 2 + v 2 2 + . . . + v N 2 N = 1 N ∑ i v i 2 {\displaystyle v_{rms}^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}{v_{i}^{2}}} N v r m s 2 = ∑ i v i 2 {\displaystyle Nv_{rms}^{2}=\sum _{i}{v_{i}^{2}}} P g a s = m N v r m s 2 3 V {\displaystyle P_{gas}={\frac {mNv_{rms}^{2}}{3V}}} P g a s = 1 3 ρ v r m s 2 {\displaystyle P_{gas}={\frac {1}{3}}\rho v_{rms}^{2}}

เมื่อ ρ {\displaystyle \rho } คือความหนาแน่นของแก๊ส

หรือ จาก P g a s = m N v r m s 2 3 V {\displaystyle P_{gas}={\frac {mNv_{rms}^{2}}{3V}}}

P V = m N v r m s 2 3 {\displaystyle PV={\frac {mNv_{rms}^{2}}{3}}} P V = 2 3 N ( 1 2 m v r m s 2 ) {\displaystyle PV={\frac {2}{3}}N({\frac {1}{2}}mv_{rms}^{2})} P V = 2 3 N ⋅ E . K . {\displaystyle PV={\frac {2}{3}}N\cdot E.K.}