วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . {\displaystyle \sin {x}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ 0 , ± π , ± 2 π , ± 3 π , . . . {\displaystyle 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,...} จึงได้เป็นผลคูณว่า

x ( x − π ) ( x + π ) ( x − 2 π ) ( x + 2 π ) ( x − 3 π ) ( x + 3 π ) . . . = x ( x 2 − π 2 ) ( x 2 − 2 2 π 2 ) ( x 2 − 3 2 π 2 ) . . . {\displaystyle x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )...=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-2^{2}\pi ^{2})(x^{2}-3^{2}\pi ^{2})...}

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

A x ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 2 2 π 2 ) ( 1 − x 2 3 2 π 2 ) . . . {\displaystyle Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}

ซึ่งจากสมบัติว่า s i n x x → 1 {\displaystyle {\frac {sinx}{x}}\rightarrow 1} เมื่อ x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} แสดงว่า A = 1 {\displaystyle A=1} ดังนั้น

x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . = ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 2 2 π 2 ) ( 1 − x 2 3 2 π 2 ) . . . {\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}

จับสัมประสิทธิ์ของ x 3 {\displaystyle x^{3}} ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

− 1 3 ! = − 1 π 2 − 1 2 2 π 2 − 1 3 2 π 2 − . . . π 2 6 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + . . . {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{3!}}&=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}-...\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...\end{aligned}}}

สรุปได้ว่า π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} เป็นผลรวมของอนุกรม[2]