นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ ( x , y ) = { { x } , { x , y } } {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}} ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ X × Y ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))} โดย P {\displaystyle {\mathcal {P}}} เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} และ C {\displaystyle C} เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B {\displaystyle A\times B} ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A} เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข [3]

• A = B {\displaystyle A=B}
• A {\displaystyle A} เป็นเซตว่าง
• B {\displaystyle B} เป็นเซตว่าง

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

A = { 1 , 2 } {\displaystyle A=\{1,2\}} และ B = { 1 , 3 } {\displaystyle B=\{1,3\}} A × B = { 1 , 2 } × { 1 , 3 } = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) } {\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{1,3\}=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}} B × A = { 1 , 3 } × { 1 , 2 } = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } {\displaystyle B\times A=\{1,3\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(3,1),(3,2)\}} A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A} A = B = { 1 , 2 } {\displaystyle A=B=\{1,2\}} A × B = B × A = { 1 , 2 } × { 1 , 2 } = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } {\displaystyle A\times B=B\times A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}} A = { 1 , 2 } {\displaystyle A=\{1,2\}} และ B = { } {\displaystyle B=\{\}} A × B = { 1 , 2 } × { } = { } {\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{\}=\{\}} B × A = { } × { 1 , 2 } = { } {\displaystyle B\times A=\{\}\times \{1,2\}=\{\}} A × B = B × A {\displaystyle A\times B=B\times A}

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง A = { a } {\displaystyle A=\{a\}} B = { b } {\displaystyle B=\{b\}} และ C = { c } {\displaystyle C=\{c\}} ( A × B ) × C = ( { a } × { b } ) × { c } = { ( a , b ) } × { c } = { ( ( a , b ) , c ) } {\displaystyle (A\times B)\times C=(\{a\}\times \{b\})\times \{c\}=\{(a,b)\}\times \{c\}=\{((a,b),c)\}} A × ( B × C ) = { a } × ( { b } × { c } ) = { a } × { ( b , c ) } = { ( a , ( b , c ) ) } {\displaystyle A\times (B\times C)=\{a\}\times (\{b\}\times \{c\})=\{a\}\times \{(b,c)\}=\{(a,(b,c))\}} ( A × B ) × C ≠ A × ( B × C ) {\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}

สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} และ D {\displaystyle D} เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

( A × C ) ∩ ( B × D ) = ( A ∩ B ) × ( C ∩ D ) {\displaystyle (A\times C)\cap (B\times D)=(A\cap B)\times (C\cap D)} [4]

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

( A × C ) ∪ ( B × D ) ≠ ( A ∪ B ) × ( C ∪ D ) {\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\neq (A\cup B)\times (C\cup D)} ( A × C ) ∪ ( B × D ) ⊆ ( A ∪ B ) × ( C ∪ D ) {\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)}

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:[3]

A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)} A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)} A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)} ( A × B ) c = ( A c × B c ) ∪ ( A c × B ) ∪ ( A × B c ) {\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})} [4]

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} แล้ว A × C ⊆ B × C {\displaystyle A\times C\subseteq B\times C} ถ้าทั้ง A {\displaystyle A} และ B {\displaystyle B} ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว ( A × B ⊆ C × D ⟺ A ⊆ C ∧ B ⊆ D ) {\displaystyle (A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D)} [5]

ภาวะเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต A = { m , n } {\displaystyle A=\{m,n\}} และ B = { 0 , 1 } {\displaystyle B=\{0,1\}} ทั้งเซต A {\displaystyle A} และเซต B {\displaystyle B} ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย A × B {\displaystyle A\times B} เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

A × B = { ( m , 0 ) , ( m , 1 ) , ( n , 0 ) , ( n , 1 ) } {\displaystyle A\times B=\{(m,0),(m,1),(n,0),(n,1)\}}

สมาชิกแต่ละตัวของ A {\displaystyle A} จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ B {\displaystyle B} แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

| A × B | = | A | | B | {\displaystyle |A\times B|=|A||B|}

และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

| A 1 × A 2 × A 3 × . . . × A n | = | A 1 | | A 2 | | A 3 | . . . | A n | {\displaystyle |A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}||A_{2}||A_{3}|...|A_{n}|}

ภาวะเชิงการนับของ A × B {\displaystyle A\times B} เป็นอนันต์ถ้าเซต A {\displaystyle A} หรือเซต B {\displaystyle B} เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง[6]