พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :[1]

F n ( x ) = { 0 , if  n = 0 1 , if  n = 1 x F n − 1 ( x ) + F n − 2 ( x ) , if  n ≥ 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

F 0 ( x ) = 0 {\displaystyle F_{0}(x)=0\,} F 1 ( x ) = 1 {\displaystyle F_{1}(x)=1\,} F 2 ( x ) = x {\displaystyle F_{2}(x)=x\,} F 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,} F 4 ( x ) = x 3 + 2 x {\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,} F 5 ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 1 {\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,} F 6 ( x ) = x 5 + 4 x 3 + 3 x {\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :[2]

L n ( x ) = { 2 , if  n = 0 x , if  n = 1 x L n − 1 ( x ) + L n − 2 ( x ) , if  n ≥ 2. {\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

L 0 ( x ) = 2 {\displaystyle L_{0}(x)=2\,} L 1 ( x ) = x {\displaystyle L_{1}(x)=x\,} L 2 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,} L 3 ( x ) = x 3 + 3 x {\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,} L 4 ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,} L 5 ( x ) = x 5 + 5 x 3 + 5 x {\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,} L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2. {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ x = 1 {\displaystyle x=1} จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ F n {\displaystyle F_{n}} ที่ x = 2 {\displaystyle x=2} โดยที่ ดีกรีของ F n {\displaystyle F_{n}} คือ n − 1 {\displaystyle n-1} และดีกรีของ L n {\displaystyle L_{n}} คือ n {\displaystyle n}

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :[3]

∑ n = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.} ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

F n ( x ) = U n ( x , − 1 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,} L n ( x ) = V n ( x , − 1 ) . {\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}