เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ − n {\displaystyle -n} โดยนิยามว่า [4]

F − n ( x ) = ( − 1 ) n − 1 F n ( x ) , L − n ( x ) = ( − 1 ) n L n ( x ) . {\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:[4]

F m + n ( x ) = F m + 1 ( x ) F n ( x ) + F m ( x ) F n − 1 ( x ) {\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,} L m + n ( x ) = L m ( x ) L n ( x ) − ( − 1 ) n L m − n ( x ) {\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,} F n + 1 ( x ) F n − 1 ( x ) − F n ( x ) 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,} F 2 n ( x ) = F n ( x ) L n ( x ) . {\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)} จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :[4]

F n ( x ) = α ( x ) n − β ( x ) n α ( x ) − β ( x ) , L n ( x ) = α ( x ) n + β ( x ) n , {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}

เมื่อ

α ( x ) = x + x 2 + 4 2 , β ( x ) = x − x 2 + 4 2 {\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}

เป็นผลตอบ t {\displaystyle t} ที่ได้จากสมการ

t 2 − x t − 1 = 0. {\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}