การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}

ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)

1 A ∩ B = min { 1 A , 1 B } = 1 A ⋅ 1 B {\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}} 1 A ∪ B = max { 1 A , 1 B } = 1 A + 1 B − 1 A ⋅ 1 B {\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}}

ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ AC จะได้ว่า

1 A ∁ = 1 − 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}}

ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A1, …, An เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า x ∈ X ดังนั้น

∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ( x ) ) {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}

จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย Ak ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า

∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ) = 1 X − ⋃ k A k = 1 − 1 ⋃ k A k {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}}

กระจายผลคูณทางด้านซ้าย

1 ⋃ k A k = 1 − ∑ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | 1 ⋂ F A k = ∑ ∅ ≠ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | + 1 1 ⋂ F A k {\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}

เมื่อ | F | คือภาวะเชิงการนับของ F สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก

ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ X เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น P และ A เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว 1A จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

E ⁡ ( 1 A ) = ∫ X 1 A ( x ) d P = ∫ A d P = P ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int _{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A)}

เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ

ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)