ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (สีน้ำเงิน) และผลบวกของ n + 1 พจน์แรกของอนุกรมกำลัง (สีแดง)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ex สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้ [6]

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }

การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

ex อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ y ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า

x = ∫ 1 y d t t {\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}}

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น

e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}