เมนูนำทาง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ภาพรวมฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง [4] และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว [4]
ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี x โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น x/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+x/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+x/12)12 ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+x/365)365 และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
exp ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ [5] สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์
จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน
exp ( x + y ) = exp ( x ) ⋅ exp ( y ) {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)} ....จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ ex ได้
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
เมนูนำทาง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ภาพรวมใกล้เคียง
ฟังก์ ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันแกมมา ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ฟังก์ชันเลียปูนอฟ ฟังก์ชันแฮช ฟังก์เมทัลแหล่งที่มา
WikiPedia: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง http://www.efunda.com http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponenti... http://math.sripisai.kkutime.com/jame/addm5-1.pdf http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFunction.h... http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.h... http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6... http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9... http://sympl.org/book/examples/interactive-plots/d... http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics...