ยูเนียนจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต A ∪ B ∪ C ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

ยูเนียนไม่จำกัด

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย ⋃ M {\displaystyle \bigcup \mathbf {M} } หรือ ⋃ A ∈ M A {\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A} ดังนี้

x ∈ ⋃ M ⟺ ∃ A ∈ M ,   x ∈ A {\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A}

การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ ⋃ i ∈ I A i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}} หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

⋃ i = 1 ∞ A i = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ … {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dots }

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

A ∩ ⋃ i ∈ I B i = ⋃ i ∈ I ( A ∩ B i ) {\displaystyle A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_{i})}

และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

⋃ i ∈ I ( ⋂ j ∈ J A i , j ) ⊆ ⋂ j ∈ J ( ⋃ i ∈ I A i , j ) {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}A_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i,j}\right)}