ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน z ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้สูตรของออยเลอร์

ทุกๆจำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่าแบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่าแบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน z สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้

z = x + i y {\displaystyle z=x+iy\,}

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้

z = r ⋅ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )}

และลดรูปเป็น

z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }\,}

เมื่อ e คือตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์[16] (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับการคูณ, การหาร, และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

• การคูณ:

r 0 e i θ 0 ⋅ r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 + θ 1 ) {\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,}

• การหาร:

r 0 e i θ 0 r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 − θ 1 ) {\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,}

• การยกกำลัง (สูตรของเดอ มัวฟ์):

( r e i θ ) n = r n e i n θ {\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,}