√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง:

1. สมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า √2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ สมมุติว่าเศษส่วนนี้คือ a/b ดังนั้น a และ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม
2. จาก √2 = a/b จะได้ √2 b = a ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 2b2 = a2
3. จาก 2b2 = a2 แสดงว่า a2 เป็นจำนวนคู่
4. ดังนั้น a เป็นจำนวนคู่ (เพราะถ้า a เป็นจำนวนคี่ a2 จะเป็นคี่) นั่นคือ a = 2k สำหรับบางจำนวนเต็ม k
5. แทน a = 2k ในข้อ 3 จะได้ 2b2 = (2k)2 = 4k2 ดังนั้น b2 = 2k2 และ b2 เป็นจำนวนคู่
6. ดังนั้น b ก็เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติในตอนแรก เพราะ a และ b มี 2 เป็นตัวประกอบร่วม

ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ[8]