จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ 1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก [1]

1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}

บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น[2]:-

1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 ≈ 1.414215686. {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}

การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ[3] ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส[3] หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก[3][4]