สมการนาเวียร์-สโตกส์ [note 1] เป็นสมการที่ตั้งตามชื่อของผู้คิดค้นสองท่านคือ
โกลด ลูอีส นาวีเยร์ และ
จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ ใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล สมการเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากการประยุกต์ใช้
กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันบนของไหล ประกอบเข้ากับสมมติฐานว่า
ความเค้นบนของไหลคือผลรวมของ
เทอมของ
ความหนืดของการกระจายตัว และเทอมของความดันชุดสมการนี้นับได้ว่าเป็นชุดสมการที่มีประโยชน์ต่อวิชา
กลศาสตร์ของไหลมากที่สุด เนื่องจากว่ามันสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพของของไหลได้กว้างขวางที่สุด มันอาจจะใช้เพื่อการจำลองสภาพอากาศ
คลื่นทะเล การไหลของของไหลในท่อ การไหลของ
อากาศผ่านปีกเครื่องบิน หรือการเคลื่อนที่ของ
ดาวใน
จักรวาล ชุดสมการนี้ ไม่ว่าจะในรูปเต็ม หรือรูปแบบที่ถูกดัดแปลงให้ง่ายขึ้น ล้วนถูกนำไปใช้ในการออกแบบอากาศยานและยานยนต์ การศึกษาการไหลเวียนของ
โลหิต การออกแบบ
โรงไฟฟ้า การวิเคราะห์ผลกระทบของ
มลพิษ เป็นต้น การนำลุดสมการนี้เมื่อไปใช้ร่วมกับ
สมการแมกซ์เวลล์สามารถใช้ในการศึกษา
แมกนิโตรไฮโดรไดนามิกส์ได้อีกด้วยนอกจากนี้ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์นับว่ามีความน่าสนใจในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อย่างมาก ถึงแม้ว่าชุดสมการจะถูกใช้งานอย่างกว้างขวางก็ตาม แต่ทว่ายังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบในเชิงสามมิตินี้จะ
จะปรากฏตลอดเวลา หรือถึงแม้ว่ามันจะปรากฏขึ้นจริง มันก็จะไม่มีลักษณะของความไม่สิ้นสุด ความเป็นเอกภาพ และความไม่ต่อเนื่อง สิ่งเหล่านี้เรียกว่า
ปัญหาการปรากฏและความราบเรียบของนาเวียร์-สโตกส์ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์จัดให้ปัญหานี้เป็น
หนึ่งในเจ็ดปัญหาที่สำคัญที่สุดในทางคณิตศาสตร์และตั้งเงินรางวัล 1,000,000
ดอลลาร์สหรัฐให้แก่ผู้ใดก็ตามที่สามารถแก้ปัญหานี้หรือสามารถแสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาได้
[1].ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์เป็น
สมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งต่างจาก
สมการพีชคณิต ไม่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แน่นอนหรือชัดเจน หากแต่ระบุ
อัตราการเปลี่ยนแปลงแทน ตัวอย่างเช่น ในสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับของไหลในอุดมคติ ซึ่งไม่มีความหนืดและอัดตัวไม่ได้ สามารถระบุความสัมพันธ์ของความเร่งนั้นเป็นอัตราส่วนต่อ
อัตราการเปลี่ยนแปลงความดัน (Pressure gradient)
[note 2]ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่สามารถใช้ระบุตำแหน่งได้แต่สามารถบอกความเร็วได้ ทำให้คำตอบของชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ถูกเรียกว่าสนามความเร็วหรือสนามการไหล ซึ่งเป็นตัวอธิบางถึงความเร็วของของไหล ณ
ตำแหน่ง และ
เวลาที่กำหนด และเมื่อสนามความเร็วถูกระบุแล้ว ตัวแปรอื่น ๆ เช่น อัตราการไหล หรือ
แรงแดรก อาจจะถูกค้นพบด้วย ชุดสมการนี้ต่างออกไปจากปรากฏการณ์ที่พบได้ใน
กลศาสตร์ดั้งเดิมซึ่งมีมีคำตอบในรูปของเส้นแนวโน้มของตำแหน่งของ
อนุภาคหรือการเปลี่ยนแปลงของความต่อเนื่อง การศึกษาความเร็วแทนที่จะสนใจตำแหน่งนั้นเป็นสิ่งที่มีสามัญสำนึกมากกว่าสำหรับวิชา
กลศาสตร์ของไหล แต่ทว่าสำหรับการสร้างแบบจำลองแล้ว จะใช้คอมพิวเตอร์ในการ
สร้างเส้นแนวโน้ม