คณิตตรรกศาสตร์ ของ สัจพจน์

ในสาขาคณิตตรรกศาสตร์มีการแยกสัจพจน์ออกเป็นสองรูปได้แก่ "สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ" และ "สัจพจน์ที่ไม่เป็นตรรกะ" ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยก "สัจพจน์" กับ "มูลบท" ในสมัยก่อนตามลำดับ

สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ

ในภาษารูปนัยมีสูตรเชิงตรรกะตายตัวที่ถือว่าสมเหตุสมผลโดยสากล (Universally Valid) สูตรนี้จะสอดคล้องกับค่าความจริงทุกค่า โดยปกติแล้วการกำหนดสัจพจน์ที่เป็นตรรกะจะกำหนดให้มีจำนวนน้อยที่สุดที่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในภาษาทั้งหมดได้ ยกเว้นแต่ตรรกะภาคแสดง (อังกฤษ: predicate logic) จะมีการเพิ่มสัจพจน์มากกว่าที่จำเป็น เพื่อพิสูจน์ค่าความจริงของประโยคที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์ภายใต้เงื่อนไขที่รัดกุม

ตัวอย่าง

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์

ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ โดยปกติแล้วจะมีสูตรเชิงตรรกะที่กำหนดให้เป็นสัจพจน์ดังนี้ เมื่อให้ ϕ {\displaystyle \phi } , χ {\displaystyle \chi } , and ψ {\displaystyle \psi } เป็นสูตรเชิงตรรกะใดๆ ในภาษารูปนัย ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์เพียงสองอันได้แก่ " ¬ {\displaystyle \neg } " นิเสธ (อังกฤษ: negation) ของประพจน์ และ " → {\displaystyle \to \,} " เงื่อนไข (ตรรกศาสตร์) ที่เชื่อมประพจน์จากเหตุไปสู่ผล:

  1. ϕ → ( ψ → ϕ ) {\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}
  2. ( ϕ → ( ψ → χ ) ) → ( ( ϕ → ψ ) → ( ϕ → χ ) ) {\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}
  3. ( ¬ ϕ → ¬ ψ ) → ( ψ → ϕ ) . {\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}

แต่ละรูปแบบล้วนเป็น เค้าร่างสัจพจน์ (อังกฤษ: Axiom Schema) ซึ่งสามารถผลิตสัจพจน์อื่นได้จำนวนไม่จำกัด ยกตัวอย่างเช่นให้ A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} แทน ตัวแปรเชิงประพจน์ ใดๆ A → ( B → A ) {\displaystyle A\to (B\to A)} และ ( A → ¬ B ) → ( C → ( A → ¬ B ) ) {\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))} ก็ล้วนแต่เป็นผลมาจากเค้าร่างสัจพจน์ที่ 1 ดังนั้นจึงประโยคทั้งสองจึงเป็นสัจพจน์ไปด้วย

เค้าร่างสัจพจน์ทั้งสามเมื่อรวมกับ modus ponens นั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ทั้งหมดได้ แต่การหยิบแค่สองเค้าร่างนั้นไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมด จำนวนของสัจพจน์ของตรรกเชิงประพจน์ดังกล่าวจึงน้อยที่สุดแล้วที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ นอกจากนั้นแล้ว เรายังสามารถสร้างเค้าร่างสัจพจน์อื่นๆ ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ได้อย่างอิสระจากเค้าร่างสัจพจน์ดังกล่าว [1] และเค้าร่างสัจพจน์นี้ยังใช้ในตรรกศาสตร์ภาคแสดงแต่ต้องเพิ่มสัจพจน์ที่เป็นตรรกะอื่นๆ ลงไป เช่นสัจพจน์ของตัวบ่งปริมาณ เป็นต้น[2]

คณิตตรรกศาสตร์

สัจพจน์แห่งความเท่ากัน ให้ L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} เป็นภาษาอันดับหนึ่ง และ x {\displaystyle x} เป็นตัวแปรใดๆ บนภาษานั้น จะได้ว่า

x = x {\displaystyle x=x\,}

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

นั่นหมายความว่าสำหรับตัวแปร x {\displaystyle x} ใดๆ การเขียน x = x {\displaystyle x=x} ย่อมเป็นสัจพจน์เสมอ

เค้าร่างสัจพจน์สำหรับตัวอย่างสากล ให้ ϕ {\displaystyle \phi \,} เป็นสูตรบน L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปร x {\displaystyle x} และเทอม t {\displaystyle t} ซึ่งสามารถแทนค่าได้บน x {\displaystyle x} ใน ϕ {\displaystyle \phi } จะได้ว่า

∀ x ϕ → ϕ t x {\displaystyle \forall x\,\phi \to \phi _{t}^{x}}

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

โดยที่สัญลักษณ์ ϕ t x {\displaystyle \phi _{t}^{x}} แทนสูตร ϕ {\displaystyle \phi } เมื่อแทนสูตร t {\displaystyle t} ลงไปใน x {\displaystyle x} นั่นหมายความว่าเมื่อเราระบุว่าสำหรับทุกๆ x แล้วสูตร ϕ t x {\displaystyle \phi _{t}^{x}} เป็นจริง ดังนั้น เมื่อแทนสูตร t {\displaystyle t} ลงไปใน ϕ {\displaystyle \phi } ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะกว่าก็ย่อมเป็นจริงด้วย

เค้าร่างสัจพจน์สำหรับการมีอยู่จริงโดยทั่วไป ให้ ϕ {\displaystyle \phi \,} เป็นสูตรบน L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปร x {\displaystyle x} และเทอม t {\displaystyle t} ซึ่งสามารถแทนค่าได้บน x {\displaystyle x} ใน ϕ {\displaystyle \phi } จะได้ว่า

ϕ t x → ∃ x ϕ {\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x\,\phi }

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล