เมนูนำทาง
อนุพันธ์ รายละเอียดสัญกรณ์สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในปี ค.ศ. 1675[3] สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ y = f(x) ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้
d y d x , d f d x ( x ) , o r d d x f ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x)}อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์
d n y d x n , d n f d x n ( x ) , o r d n d x n f ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น
d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ y ที่จุด x = a ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:
d y d x | x = a = d y d x ( a ) {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)}สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:[Note 2]
d y d x = d y d u ⋅ d u d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง สัญกรณ์ไพรม์[4] หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เขียนได้ในรูป f′(x) หรือ f′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
( f ′ ) ′ = f ″ {\displaystyle (f')'=f''\,} และ ( f ″ ) ′ = f ‴ {\displaystyle (f'')'=f'''}เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
f i v {\displaystyle f^{\mathrm {iv} }\,\!} หรือ f ( 4 ) {\displaystyle f^{(4)}}สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ f (n) สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก
สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า y = f(t) แล้ว
y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} และ y ¨ {\displaystyle {\ddot {y}}}หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ y เทียบกับ t ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์[5][6] โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น
สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ D ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน f เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง Df ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป D2f และอนุพันธ์อันดับ n เขียนได้ในรูป Dnf
ถ้า y = f(x) เป็นตัวแปรตาม แล้ว x จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ D เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น x ดังข้างล่าง
D x y {\displaystyle D_{x}y\,} or D x f ( x ) {\displaystyle D_{x}f(x)\,} ,แต่ตัวห้อย x มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว
สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
เมนูนำทาง
อนุพันธ์ รายละเอียดสัญกรณ์ใกล้เคียง
อนุพันธ์ อนุพันธ์ (แก้ความกำกวม) อนาพันธ์แหล่งที่มา
WikiPedia: อนุพันธ์ http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative... http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation... http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=... https://www.khanacademy.org/math/differential-calc...