กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน

• การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า

f ( x ) = x r {\displaystyle f(x)=x^{r}}

เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

f ′ ( x ) = r x r − 1 {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า f ( x ) = x 1 / 4 {\displaystyle f(x)=x^{1/4}} แล้ว

f ′ ( x ) = ( 1 / 4 ) x − 3 / 4 {\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4}}

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

• กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว

f ′ = 0 {\displaystyle f'=0}

• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} d d x a x = a x ln ⁡ ( a ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)} d d x ln ⁡ ( x ) = 1 x , x > 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0} d d x log a ⁡ ( x ) = 1 x ln ⁡ ( a ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

d d x sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)} d d x cos ⁡ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)} d d x tan ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x ) = 1 + tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}

จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้

d d x csc ⁡ ( x ) = − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x} d d x sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x} d d x cot ⁡ ( x ) = − csc 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x}

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

d d x arcsin ⁡ ( x ) = 1 1 − x 2 , − 1 < x < 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1} d d x arccos ⁡ ( x ) = − 1 1 − x 2 , − 1 < x < 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1} d d x arctan ⁡ ( x ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}

กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน

ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

• กฎผลรวม:

( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ {\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,} สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด α {\displaystyle \alpha } และ β {\displaystyle \beta }

• กฎผลคูณ:

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ( α f ) ′ = α f ′ {\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'} เมื่อไรก็ตามที่ α {\displaystyle \alpha } เป็นค่าคงที่ เพราะว่า α ′ f = 0 ⋅ f = 0 {\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0} จากกฎค่าคงที่

• กฎผลหาร:

( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}} สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.

• กฎลูกโซ่: ถ้า f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} แล้ว

f ′ ( x ) = h ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,}

ตัวอย่างการคำนวณ

อนุพันธ์ของ

f ( x ) = x 4 + sin ⁡ ( x 2 ) − ln ⁡ ( x ) e x + 7 {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}

คือ

f ′ ( x ) = 4 x ( 4 − 1 ) + d ( x 2 ) d x cos ⁡ ( x 2 ) − d ( ln ⁡ x ) d x e x − ln ⁡ ( x ) d ( e x ) d x + 0 = 4 x 3 + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) − 1 x e x − ln ⁡ ( x ) e x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}}

ในพจน์ที่สองของ f คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ x2, x4, sin(x), ln(x) และ exp(x) = ex รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย