การหาอนุพันธ์ เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ของตัวแปร x คืออัตราที่ค่า y ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x เรียกว่า อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน f ลงจุดเทียบกับ x อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ y เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ x ซึ่งหมายถึงกราฟของ y จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ y = f(x) = m x + b สำหรับจำนวนจริง m และ b และความชัน m ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ดังสมการ

m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

เมื่อสัญลักษณ์ Δ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า

y + Δ y = f ( x + Δ x ) = m ( x + Δ x ) + b = m x + m Δ x + b = y + m Δ x {\displaystyle y+\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\,\Delta x+b=y+m\,\Delta x}

เพราะฉะนั้น จะได้

y + Δ y = y + m Δ x {\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x}

ทำให้ได้

Δ y = m Δ x {\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x}

ซึ่ง m เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น x ใด ๆ

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง Δy / Δx เมื่อ Δx เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

สัญกรณ์

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ x แสดงได้เป็น dx และอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เขียนได้ดังนี้

d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}

แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วนสัญกรณ์ของลากรางจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x แสดงได้เป็น f'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ fx'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\to 0}

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ f ที่ x เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}}

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x2 หาอนุพันธ์ได้ที่ x = 3 และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ f(3) เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์:

f ′ ( 3 ) = lim h → 0 f ( 3 + h ) − f ( 3 ) h = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) {\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}\end{aligned}}}

นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ 6 + h เมื่อ h ≠ 0 และไม่นิยามเมื่อ h = 0 เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ h = 0 ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ h เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า 6 + h เมื่อ h มีค่าน้อยลงมาก ๆ

lim h → 0 ( 6 + h ) = 6 + 0 = 6 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6}

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด (3, 9) คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ x = 3 คือ f′(3) = 6

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ x = a คือ f′(a) = 2a:

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = lim h → 0 ( a + h ) 2 − a 2 h = lim h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 − a 2 h = lim h → 0 2 a h + h 2 h = lim h → 0 ( 2 a + h ) = 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}

ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ณ a ได้ f จะต้องต่อเนื่องที่ a เสมอ ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ a จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เลือกจุด a และให้ f เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีค่า 1 สำหรับ x ทั้งหมดที่น้อยกว่า a และมีค่า 10 สำหรับ x ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ a แล้ว f ไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ที่ a โดยหาก h เป็นค่าลบ a + h จะอยู่ที่ส่วนล่างของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h นั้นสูงชันมากและเมื่อ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ความชันจะไม่มีที่สิ้นสุด หาก h เป็นค่าบวก a + h จะอยู่บนส่วนสูงของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h มีความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นตัดจึงไม่ได้เข้าใกล้ความชันเดียว และลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างจึงไม่สามารถหาได้

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก็ยังอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ x = 0 แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก h เป็นค่าบวกความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ถ้า h เป็นลบความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเป็น -1 จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้นี้สามารถเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นมุมในกราฟที่ x = 0 แต่แม้ฟังก์ชันที่กราฟไม่หักมุมก็ยังอาจจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่ความชันเป็นแนวตั้ง: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่กำหนดโดย f(x) = x1/3 ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0

สรุปว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์นั้นต่อเนื่อง แต่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด เพราะเหตุนี้ ในช่วงแรกของประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส นักคณิตศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ ซึ่งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรงมาก เช่นถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนหรือฟังก์ชันลิปชิตส์ สิ่งนี้จะเป็นจริง อย่างไรก็ตามในปี 1872 ไวเออร์ชตราส พบตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ไหน ตัวอย่างนี้เรียกว่าฟังก์ชันไวเออร์ชตราส ในปี 1931 สเตฟาน บานาค พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด[1] หมายความว่าการสุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ แทบไม่มีโอกาสเลยที่จะหาอนุพันธ์ได้แม้จุดเดียว

อนุพันธ์ในรูปฟังก์ชัน

แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน f ( x ) = 1 + x sin ⁡ x 2 {\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}} ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้

อนุพันธ์อันดับสูง

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้

จุดเปลี่ยนเว้า

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า[2] ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x3 หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x1/3 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า