อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป

หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง x จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ M ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย ⋂ M {\displaystyle \bigcap \mathbf {M} } หรือ ⋂ A ∈ M A {\displaystyle \bigcap _{A\in \mathbf {M} }A} ดังนี้

x ∈ ⋂ M ⟺ ∀ A ∈ M ,   x ∈ A {\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A}

การอินเตอร์เซกชันของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ ⋂ i ∈ I A i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}} หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

⋂ i = 1 ∞ A i = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ … {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \dots }

อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง

ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต M ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้

⋂ M = { x : x ∈ A  for all  A ∈ M } {\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x:x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}

ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต A ใดๆ อยู่ใน M เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี x ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ x ใดๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ M เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)

การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ M ที่เป็นเซตว่าง

⋂ M = { x ∈ U : x ∈ A  for all  A ∈ M } {\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x\in \mathbf {U} :x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}

แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ U