เจ้าพงษ์อินทร์ ณ เชียงใหม่ ประสูติเมื่อปี พ.ศ. 2447 เป็นราชโอรสในพลตรี เจ้าแก้วนวรัฐ เจ้าผู้ครองนครเชียงใหม่ องค์ที่ 9 กับ หม่อมบัวเขียว ณ เชียงใหม่ มีขนิษฐาและอนุชา ร่วมเจ้ามารดา 3 องค์ คือ

1. เจ้าพงษ์อินทร์ ณ เชียงใหม่
2. เจ้าหญิงศิริประกาย ณ เชียงใหม่ - สมรสกับเจ้ากาวิละวงศ์ ณ เชียงใหม่ และเป็นเจ้ามารดา ในเจ้ากอแก้วประกายกาวิล ณ เชียงใหม่
3. เจ้าอินทนนท์ ณ เชียงใหม่ - สมรสกับเจ้านางสุคันธา ณ เชียงตุง ราชธิดาในเจ้าฟ้าก้อนแก้วอินแถลง เจ้าหอคำเชียงตุง องค์ที่ 40 ประสูติแต่เจ้านางบัวทิพย์หลวง

เจ้าพงษ์อินทร์ เริ่มศึกษาที่โรงเรียนมหาดเล็กหลวงเชียงใหม่ ต่อมาได้ตามเสด็จเจ้าดารารัศมี พระราชชายา อยู่ประจำที่กรุงเทพมหานคร เข้าศึกษาที่โรงเรียนราชวิทยาลัย ภายหลังได้ไปศึกษาต่อที่ประเทศอังกฤษ ทางด้านการเกษตร โดยเป็นราชโอรสองค์เดียวของเจ้าแก้วนวรัฐที่ไปศึกษาในยุโรปอันเป็นการปูทางการศึกษาให้กับทายาทรุ่นถัดมา