สมการ ของ เอพิไซคลอยด์

รูปร่างของเอพิไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นเอพิไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

x ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)} y ( θ ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}

หรือ

x ( θ ) = r ( k + 1 ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) {\displaystyle x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,} y ( θ ) = r ( k + 1 ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) {\displaystyle y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\,}
  • ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายดอกไม้หรือใบบัว และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
  • ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = p/q ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิด
  • ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R + 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)