การดำเนินการพีชคณิตพื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย

• การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์ a v {\displaystyle a\mathbf {v} } ;
• การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ v 1 + v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}} ;
• ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์ v 1 ⋅ v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}} ;
• ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ v 1 × v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}} ;

นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้นผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: v 1 ⋅ ( v 2 × v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)} ;ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้นผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: v 1 × ( v 2 × v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)} or ( v 3 × v 2 ) × v 1 {\displaystyle \left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}} ;

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม

การดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล ( ∇ {\displaystyle \nabla } ) หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย	โดเมน/พิสัย
เกรเดียนต์	grad ⁡ ( f ) = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}	วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์	แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์
เคิร์ล	curl ⁡ ( F ) = ∇ × F {\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }	วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์
ไดเวอร์เจนซ์	div ⁡ ( F ) = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }	วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์
ลาปลาเซียน เวกเตอร์	∇ 2 F = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ × ( ∇ × F ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}	องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์
ลาปลาเซียน	Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}	องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์