พลตำรวจเอก แสวง ธีระสวัสดิ์ เกิดเมื่อวันที่ 27 ตุลาคม พ.ศ. 2474 ที่ตำบลนางเลิ้ง อำเภอหนองแค จังหวัดสระบุรี เป็นบุตรของนายสวัสดิ์และนางสะอาด ธีระสวัสดิ์ มีพี่น้องร่วมบิดามารดา 3 คน คือ

• นางไสว เหมาะใจ
• พลตำรวจเอกแสวง ธีระสวัสดิ์
• พลอากาศเอกชาญ ธีระสวัสดิ์

สมรสกับคุณหญิงอารีย์ ธีระสวัสดิ์ มีบุตรสามคน ได้แก่ พล.ต.อ.ธนิตศักดิ์ ธีระสวัสดิ์ อดีตที่ปรึกษาพิเศษสำนักงานตำรวจแห่งชาติ นางขัตติยา ธีระสวัสดิ์ และ พล.ต.อ.สุชาติ ธีระสวัสดิ์ รองผู้บัญชาการตำรวจแห่งชาติ[1]